[國中]有點矛盾的方程式

[國中]有點矛盾的方程式

陳鵬尹 於 星期一 六月 15, 2015 11:48 pm


國中時在求過兩點的直線方程式時,我們都會假設y=mx+k
我有一個問題如下:
設y=mx+k 並另k=m+n
可得y=mx+m+n
      y=m(x+1)+n
   y-n=m(x+1)
(y-n)(x+1)=m(x+1)2
xy+y-xn-n=mx2+2mx+m
              y= mx2+2mx+m -xy+xn+n
              y=mx2-(y-n-2m)x+m+n
所以y=mx+m+n跟 y=mx2-(y-n-2m)x+m+n相同
但根據前者在坐標平面上必為直線,而後者在m非0時有可能是曲線
但又2條方程式相等,小弟被困惑很久了,哪位大大能幫個忙?
方程式的定理可靠嗎?

陳鵬尹
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Re: [國中]有點矛盾的方程式

訪客 於 星期四 六月 18, 2015 6:29 pm


由你的推導得知:
方程式 y=mx2-(y-n-2m)x+m+n 和 (y-n)(x+1)=m(x+1)2 等價。

而 (y-n)(x+1)=m(x+1)2
<=> (x+1)(y-n-mx-m)=0
<=> x=-1 或 y=mx+m+n

所以 y=mx2-(y-n-2m)x+m+n 的圖形為兩直線 x=-1 與 y=mx+m+n 的圖形之聯集。
當 x 不等於 -1 時,y=mx2-(y-n-2m)x+m+n 的圖形為直線 y=mx+m+n。

訪客

 

Re: [國中]有點矛盾的方程式

訪客 於 星期四 六月 18, 2015 11:33 pm


方程式 y-n=m(x+1)〔即 y=mx+m+n〕與 (y-n)(x+1)=m(x+1)2 並不相同。
由 y-n=m(x+1) 推到 (y-n)(x+1)=m(x+1)2 沒問題,
但是由 (y-n)(x+1)=m(x+1)2 反推到 y-n=m(x+1) 需要同除以 x+1,
當 x+1=0 時會有問題,因為分母不得為零。

你要證明兩個方程式 A、B 相同,必需要 A => B 且 B => A,
即 A 式可以推到 B 式,且 B 式也能推得 A 式。
如果只有 A => B,而沒有 B => A,
那麼只能確定 A 的圖形為 B 的圖形的一部分(子集)。

以上面為例,令
A:y-n=m(x+1)
B:(y-n)(x+1)=m(x+1)2
則 A 的圖形為一條直線,而 B 的圖形為兩條直線,其中一條為 A 的圖形。

訪客

 






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