[大學]證明收斂或發散

[大學]證明收斂或發散

訪客 於 星期三 十二月 31, 2014 10:17 pm


想請問高手 1-1/2-1/3+1/4+1/5-1/6-1/7++--...   這個要怎麼證明他是收斂或發散
一開始我是用括號兩個兩個一刮,但後來發現這會出現特例,想請問有沒有別的正確的證明方法,謝謝大家!

訪客

 

訪客 於 星期三 十二月 31, 2014 10:25 pm


sorry 各位  第一次用   排版排得不好   再重發一次題目
想請問高手 1-1/2-1/3+1/4+1/5-1/6-1/7++--...   這個要怎麼證明他是收斂或發散
一開始我是用括號兩個兩個一刮,但後來發現這會出現特例,想請問有沒有別的正確的證明方法,謝謝大家!

訪客

 

eaglle 於 星期四 一月 01, 2015 8:18 pm


這和遞減交錯級數收歛的証法是一樣的, 一般書上寫一大堆不等式, 其實用數軸來看會很清楚:

一開始是1, 減兩項後, 就往左跳一段距離到S3; 但再加兩項都比減的小, 所以再往右跳回到S5的時候, 只能回到1的左邊;
以下以此類堆, 就得到

_____S3__S7____S11______________________________________________S13_______S9______S5____1___

總之, 這些奇數的S就會往中間靠攏, 你也可以說, 右邊的那些S遞減而有下界, 左邊那些S遞增而有上界,
由實數的完備性「遞增(減)數列有上(下)界, 必收歛」, 左右兩邊的S都有極限

現在的問題只在, 左邊和右邊的S, 是會靠攏到一起, 還是中間會留下一段距離?
因為 Sn+2- Sn= |1/n+1  + 1/n+2|  ----> 0 , 所以, 右邊的S遞減的極限會和左邊的S遞增的極限相等

最後, 那偶數項的S呢? 和上述相同, 偶數項的S和奇數項的S只差一個 1/n+1, 所以奇偶項S的極限也是一樣的

這樣, 整個數列的n項和Sn 就有一個極限, 這就是數列收歛的定義了

以上, 我沒有動用制式的數學式來寫, 但意思應該更容易明白; 如果要改寫成制式數學式, 一點也沒有困難, 例如

把數軸上的關係寫成: S3<S7<S11.....   .<S9<S5<1  
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     ..............

eaglle
研究生
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eaglle 於 星期四 一月 01, 2015 8:23 pm


上面提到的減交錯級數收歛定理:

若an是遞減至0的正項數列, 則 a1-a2+a3 -a4 .......收歛

有興趣的話可以彷上例自己証明看看, 這是每本晝上都有的定理

eaglle
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