[高中][數學]請教f(X)和g(x)如何求呢?

[高中][數學]請教f(X)和g(x)如何求呢?

k2598482 於 星期日 十月 26, 2014 9:11 am


請教f(X)和g(x)如何求呢?
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目前是位高三學生,很高興來到這,請指教~~~
希望大家能多多幫忙解題!!:)))

k2598482
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eaglle 於 星期一 十月 27, 2014 11:11 am


先說f(x)的來源:

一、仔細看f的第一項

它有兩個特性, 第一, 它滿足「代a得0」「代b得0」(這是廢話); 第二, 它滿足「代c得1」, 這要仔細看一下它的設計: 它的分母, 恰好是分子代c進去的結果, 所以, 當x以c代入的時候 (注意, 分母沒有x), 分子就變成和分母一樣, 所以分數值就是1了。

這是一個聰明的設計, 它幫我們製造了一個滿足: 「代a得0」「代b得0」「代c得1」的二次式

二、 現在回頭看題目要求我們製造一個f, 滿足f(2013), f(2014), f(2015) 分別等於指定的值

我們想, 這很難啊, 但是「好的數學會轉彎」, 如果我們暫時把題目改為, 指定f(2013)=0, f(2014)=0, f(2015)=1, 先製造這樣一個「零件」

那我們就會先寫出 (x-2013)(x-2014), 這樣就滿足了前兩個條件, 再補上該有的分母,



這樣, 就得到具有「代2013得0」「代2014得0」「代2015得1」的性質的一個「零件」(零件是用來製造大機器用的)

三、但這樣改掉題目, 對於原題有什麼幫助呢?

現在巧妙的事情就要發生了, 如果, 我們把上面這個零件乘以 116, 這個零件就幫我們製造出足

「代2013得0」「代2014得0」「代2015得116」的1號新零件(1)----

用同樣的方法, 可以製造出足

「代2013得0」「代2014得103」「代2015得0」的2號新零件(2)----

以及

「代2013得102」「代2014得0」「代2015得0」的3號新零件(3)----

四、把3個新零件加起來, 就得到所求

這最後一步, 要稍稍想一下, 最主要的想法是, 當我們把它們加起來的時候, 「代..得0」這個性質, 不會干擾已經設定好的, 例如「代..得116」 ;

仔細說: (2)(3)號零件都是「代2015得0」, 只有(1)號零件是「代2015得116」, 所以, 三個加起來, 仍然是「代2015得116」
           (1)(2)號零件都是「代2013得0」, 只有(3)號零件是「代2013得102」, 所以, 三個加起來, 仍然是「代2013得102」
           (1)(3)號零件都是「代2014得0」, 只有(2)號零件是「代2014得103」, 所以, 三個加起來, 仍然是「代2014得103」

五、這個方法可以推廣到指定n個函數值, 例如, 指定f必須「代a得某數」「代b得某數」.......「代e得某數」

那我們就先來製造「代a得0」「代b得0」「代c得0」「代d得0」代e得1」的零件, 再依前述步驟製造

六、這個方法, 有個名稱, 叫做 拉格朗日插值法, 是數學家 L'agrange 所發明的

以上, 我很詳細地解釋了插值法的設計的思路, 是一般課本上不會有, 而一般老師也不會講的, 希望你仔細看一下, 順便去講給同學聽
如果你願意和同學分享, 自己就會真正懂了

eaglle
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eaglle 於 星期一 十月 27, 2014 11:47 am


至於g(x)的求法, 題目所給的f和g的關係, 其實已經有了插值法的兩個零件, 所以, g一定是第三個零件, 是不必硬算的

eaglle
研究生
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