[高中][大學]兩題 奇函數、三次函數

[高中][大學]兩題 奇函數、三次函數

tony1a2b3c 於 星期日 六月 22, 2014 4:23 pm


1 有一奇函數求其f(0)則其 f(0)=0 ?  有沒有可能不存在? 如果不連續呢? 不存在

2 凡三次函數必有一唯一的反曲點存在?
(不用精確證明沒關係,我只想知道對不對)

tony1a2b3c
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benice 於 星期日 六月 22, 2014 6:49 pm


1.
奇函數定義性質為 f(-x) = -f(x)。
如果 0 在定義域內,那麼 f(-0) = -f(0) 可推得 f(0) = 0

考慮 f(x) = sin(1/x), x≠0,
則 f(-x) = sin(1/(-x)) = sin(-1/x) = -sin(1/x) = -f(x)。
所以函數 f 在其定義域 (-∞,∞)/{0} 內為奇函數。

如果自訂一函數 g:
g(x) =
sin(1/x), if x≠0

0, if x=0
則 g 在其定義域 (-∞,∞) 內也是奇函數。

但如果自訂另一函數 h:
h(x) =
sin(1/x), if x≠0

1, if x=0
則 h 在其定義域 (-∞,∞) 內不是奇函數。

奇函數不一定要連續,例如常用的符號函數 sign:
sign(x) =
1, if x>0
│ 0, if x=0
-1, if x<0
雖然 sign 在 x=0 處不連續,但在其定義域 (-∞,∞) 內為奇函數。

2.
三次函數之一般式為 f(x) = ax³ + bx² + cx + d, (a≠0)。
微分得
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f"(x) = 6ax + 2b

f"(x) = 0 => x = -b/(3a)

令 x0 = -b/(3a)
因為 f" 為圖形非水平線的線性函數(∵ 6a≠0),  
所以 x0 為唯一的 x 值使得 f" 在 x0 兩側為異號 (見以下詳細說明),
即 (x0,f(x0)) 為 f 唯一之反曲點。

三次函數必有一唯一的反曲點存在

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詳細說明:

若 a>0,則:  
當 x>x0 時,f"(x) 恆大於零  
當 x<x0 時,f"(x) 恆小於零  

若 a<0,則:  
當 x>x0 時,f"(x) 恆小於零  
當 x<x0 時,f"(x) 恆大於零  
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benice
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tony1a2b3c 於 星期日 六月 22, 2014 11:13 pm


萬分感謝,我懂了!

tony1a2b3c
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