[高中]線性變換的題目

[高中]線性變換的題目

SSB 於 星期三 六月 04, 2014 10:48 pm


imgur.com/qt5XVZe(sorry...圖片都貼不上)
求第三題的解法 (全等那題)
感謝

SSB
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benice 於 星期五 六月 06, 2014 6:06 am


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

旋轉公式:
方程式 f(x,y) = 0 的圖形逆時針旋轉θ角後的圖形之方程式為
f(y sinθ + x cosθ, y cosθ - x sinθ) = 0。
即原方程式的
x 用 y sinθ + x cosθ 取代,
y 用 y cosθ - x sinθ 取代。

判斷二次函數圖形是否全等:
二次函數的一般式 f(x) = ax² + bx + c (a≠0)
皆可配方成 f(x) = a(x - h)² + k 的形式﹝h = -b/(2a), k = (4ac - b²)/(4a)﹞,
所以,二次項係數相同(a 值相同)的二次函數圖形經過適當的平移後皆會重合。
也就是說,二次項係數相同的二次函數圖形皆為全等。

(1)
將方程式 x² = 12y 的 x, y 變數互換,可得到 y² = 12x,
所以 x² = 12y 與 y² = 12x 的圖形對稱於直線 y = x,故全等。
﹝也可用旋轉來看, y² = 12x 逆時針旋轉 90 度後的圖形與 x² = 12y 重合。﹞

(2)
將方程式表示成二次函數 x = f(y) 的形式:
x = 12y² + 23x + 29 可表示成 x = -(6/11)y² - 29/22。
y² = 12x 可表示成 x = (1/12)y²。
因為二次函數二次項的係數決定拋物線開口的大小,
而∣-6/11∣≠∣1/12∣,故兩者圖形不全等。

(3)
方程式 (1) 可表示成 y = (1/12)x²,
所以 y = (1/12)x² + (23/17)x + 29/5 與方程式 (1)
開口的大小一樣,故圖形全等,所以 (3) 也與 y² = 12x 全等。

(4)
√[(x-4)² + (y+5)²] =∣(3x - 4y - 2) / 5∣
此方程式的圖形為焦點 (4,-5),準線 3x - 4y - 2 = 0 的拋物線。
令角θ滿足 sinθ= 4/5,cosθ= 3/5,
則此拋物線逆時針旋轉θ角後,準線會與 y 軸平行,對稱軸會和 x 軸平行,
即旋轉θ角後的方程式可表示成二次函數 x = f(y) 的形式。
將方程式 (4) 整理成 25(x-4)² + 25(y+5)² = (3x - 4y - 2)²
y sinθ + x cosθ = (4/5)y + (3/5)x
y cosθ - x sinθ = (3/5)y - (4/5)x
由旋轉公式,方程式 (4) 的圖形逆時針旋轉θ角後的圖形之方程式為
25[(4/5)y + (3/5)x-4]² + 25[(3/5)y - (4/5)x+5]² = {3[(4/5)y + (3/5)x] - 4[(3/5)y - (4/5)x] - 2}²
(4y + 3x - 20)² + (3y - 4x + 25)² = (5x - 2)²
(9x² + 24xy - 120x + 16y² - 160y + 400) + (16x² - 24xy - 200x + 9y² + 150y + 625) = 25x² - 20x + 4
(-120x + 16y² - 160y + 400) + (-200x + 9y² + 150y + 625) = -20x + 4
25y² - 10y - 320x + 1025 = -20x + 4
25y² - 10y + 1021 = 300x
x = (1/12)y² - (1/30)y + 1021/300 ...... (*)
將 y² = 12x 也表示成 x = f(y) 的形式,即 x = (1/12)y²。
因為二次函數 (*) 與 x = (1/12)y² 二次項的係數一樣,
故兩者圖形全等,所以 (4) 也與 y² = 12x 全等。

(5)
方程式 y² = 12x 等價於 y = ±√(12x),
所以 y = √(12x) 只是 y² = 12x 圖形的上半部(y > 0 的部分),
因此兩圖形不全等。

答:(1),(3),(4)。

方程式圖形:

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benice
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SSB 於 星期五 六月 06, 2014 8:40 pm


感謝解答
太強了∼∼

SSB
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