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Perform a geometric expansion to simplify the following series:
1,200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9).
What is the value of x?

[ANS]
1200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9)
1200x = 100(x + x2 + x3 + . . . + x10)
1200x - 1200 = 100(x + x2 + x3 + . . . + x10 − 1 − x − x2 − x3 − . . . − x9)
1200(x - 1) = 100(x10 - 1)
12 = (x10 - 1)/(x - 1)
Substitute for x:
x = 1.0398905  

我想請問 這答案是怎麼解出來的    為什麼X的10次方-1 除 X-1  能夠知道答案是 1.0398905

jiasu 寫到:Perform a geometric expansion to simplify the following series:
1,200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9).
What is the value of x?

[ANS]
1200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9)
1200x = 100(x + x2 + x3 + . . . + x10)
1200x - 1200 = 100(x + x2 + x3 + . . . + x10 − 1 − x − x2 − x3 − . . . − x9)
1200(x - 1) = 100(x10 - 1)
12 = (x10 - 1)/(x - 1)
Substitute for x:
x = 1.0398905  

我想請問 這答案是怎麼解出來的    為什麼X的10次方-1 除 X-1  能夠知道答案是 1.0398905

基本上，這只能用數值解。只不過，原來的題目
1,200 = 100(1 + x + x² + x³ + . . . + x⁹)
是九次多項式求根，比較複雜，改寫成
1200(x - 1) = 100(x¹⁰ - 1)
變成十次多項式求根，比原來的方程式多了一個 x=1 的根 ，但求解相對簡單。

若要近似的一實數解，可令
f(x) = -11 + x + x² + x³ + . . . + x⁹
g(x) = x¹⁰ - 12x + 11
注意到f(x)必有根介於 1 與 2 之間，因為
f(1) = -2 小於 0
f(2) >0

令此根 x = 1 + a, 代入 g(x) =0 (不要用 f(x) =0, 因為f(x) 要計算 x⁹, x⁸, ..., 比較麻煩)

g(1+a) = (1+a)¹⁰ - 12(1+a) + 11 = (1+a)¹⁰ - 12a - 1
            ≈(1+ 10a + 45a²) - 12a - 1 = 45a² - 2a = 0
所以 a ≈ 2/ 45 ≈ 0.04444

若要更精準，可再對(1+a)¹⁰  多展一項至
(1+a)¹⁰≈ 1 + 10a + 45 a² + 120 a³
g(1+ a) =0 ≈ 120 a³ + 45a² - 2a
a ≈ 0.0401465