[數學] 幫幫忙,求解釋

[數學] 幫幫忙,求解釋

jiasu 於 星期一 四月 21, 2014 3:37 pm


Perform a geometric expansion to simplify the following series:
1,200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9).
What is the value of x?

[ANS]
1200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9)
1200x = 100(x + x2 + x3 + . . . + x10)
1200x - 1200 = 100(x + x2 + x3 + . . . + x10 − 1 − x − x2 − x3 − . . . − x9)
1200(x - 1) = 100(x10 - 1)
12 = (x10 - 1)/(x - 1)
Substitute for x:
x = 1.0398905  

我想請問 這答案是怎麼解出來的    為什麼X的10次方-1 除 X-1  能夠知道答案是 1.0398905

jiasu
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Re: [數學] 幫幫忙,求解釋

lskuo 於 星期三 四月 23, 2014 2:32 pm


jiasu 寫到:Perform a geometric expansion to simplify the following series:
1,200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9).
What is the value of x?

[ANS]
1200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9)
1200x = 100(x + x2 + x3 + . . . + x10)
1200x - 1200 = 100(x + x2 + x3 + . . . + x10 − 1 − x − x2 − x3 − . . . − x9)
1200(x - 1) = 100(x10 - 1)
12 = (x10 - 1)/(x - 1)
Substitute for x:
x = 1.0398905  

我想請問 這答案是怎麼解出來的    為什麼X的10次方-1 除 X-1  能夠知道答案是 1.0398905


基本上,這只能用數值解。只不過,原來的題目
1,200 = 100(1 + x + x2 + x3 + . . . + x9)
是九次多項式求根,比較複雜,改寫成
1200(x - 1) = 100(x10 - 1)
變成十次多項式求根,比原來的方程式多了一個 x=1 的根 ,但求解相對簡單。

若要近似的一實數解,可令
f(x) = -11 + x + x2 + x3 + . . . + x9
g(x) = x10 - 12x + 11
注意到f(x)必有根介於 1 與 2 之間,因為
f(1) = -2 小於 0
f(2) >0

令此根 x = 1 + a, 代入 g(x) =0 (不要用 f(x) =0, 因為f(x) 要計算 x9, x8, ..., 比較麻煩)

g(1+a) = (1+a)10 - 12(1+a) + 11 = (1+a)10 - 12a - 1
            ≈(1+ 10a + 45a2) - 12a - 1 = 45a2 - 2a = 0
所以 a ≈ 2/ 45 ≈ 0.04444

若要更精準,可再對(1+a)10  多展一項至
(1+a)10≈ 1 + 10a + 45 a2 + 120 a3
g(1+ a) =0 ≈ 120 a3 + 45a2 - 2a
a ≈ 0.0401465

lskuo
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