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例如：
(2,5)=18
(4,6)=29
(6,3)=34

請問：

(14,6)=?
(6,12)=?
或者反過來問
162=(x,y)
309=(x,y)

我只寫出計算式，式子由圖解歸納得到，過程省略：

一、已知正整數 N，求相對應的 x, y 座標：

找出最小的正整數 n 使得 n² ≧ N，即 n = ceil(sqrt(N))。

設 k = n² - N。

計算式：
x = n - floor(k/n) * (1 + mod(k,n))
y = k + 1 - floor(k/n) * (1 + mod(k,n))

例如：
N = 162
n = ceil(sqrt(162)) = 13
k = 13² - 162 = 169 - 162 = 7
x = 13 - floor(7/13) * (1 + mod(7,13)) = 13 - 0 = 13
y = 7 + 1 - floor(7/13) * (1 + mod(7,13)) = 7 + 1 - 0 = 8

例如：
N = 309
n = ceil(sqrt(309)) = 18
k = 18² - 309 = 324 - 309 = 15
x = 18 - floor(15/18) * (1 + mod(15,18)) = 18 - 0 = 18
y = 15 + 1 - floor(15/18) * (1 + mod(15,18)) = 15 + 1 - 0 = 16

(圖示)






二、已知正整數點座標 (x,y)，求相對應的正整數 N：

設 n = ( abs(x+y) + abs(x-y) ) / 2，則 x = n 或 y = n。

計算式：
若 x = n，則 N = n² - y + 1。
若 y = n，則 N = (n-1)² + x。

例如：
(x,y) = (14,6)
n = ( abs(14+6) + abs(14-6) ) / 2 = 14
因為 x = n，所以 N = n² - y + 1 = 14^2 - 6 + 1 = 196 - 6 + 1 = 191

例如：
(x,y) = (6,12)
n = ( abs(6+12) + abs(6-12) ) / 2 = 12
因為 y = n，所以 N = (n-1)² + x = 11^2 + 6 = 121 + 6 = 127

(圖示)


平面上，方程式 abs(x+y) + abs(x-y) = 2n 的圖形為中心在原點且邊長為 2n 的正方形。