[國中] 所有代數和中最大的非正代數和為和?

[國中] 所有代數和中最大的非正代數和為和?

阿呆庭 於 星期四 七月 04, 2013 10:21 pm


在12、22、32、。。。。492每個數前面任意放置"+"號或"-"號,
則所有代數和中最大的非正代數和為和?
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阿呆庭
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Tzwan 於 星期二 七月 09, 2013 4:07 pm


公式: 12+22+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6

因為 12+22+...+492 = 40425 為奇數, 所以最大非正代數和不可能為0, 即頂多-1.

將此49個數分成兩堆, 一堆前面放置"+", 反之放"-".

盡可能地平均分佈這兩堆的數值, 即只要湊出"+"那堆最接近20212即可.

湊的方法為先挑選前k個最小的數, 使得最接近20212.

猜幾次就可以猜到k=39時最接近, 為20540. (代公式找)

多出了 20540 - 20212 = 328.

再拿掉最接近328的數 182 = 324.

目前多出了 328 - 324 = 4.

再拿掉最接近4的數 22 = 4.

剛湊到20212.

Ans: -1, 前39項除了2和18以外都放置"+", 其餘皆放置"-".

Tzwan
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lskuo 於 星期四 七月 11, 2013 1:45 pm


Tzwan 寫到:公式: 12+22+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6

因為 12+22+...+492 = 40425 為奇數, 所以最大非正代數和不可能為0, 即頂多-1.

將此49個數分成兩堆, 一堆前面放置"+", 反之放"-".

盡可能地平均分佈這兩堆的數值, 即只要湊出"+"那堆最接近20212即可.

湊的方法為先挑選前k個最小的數, 使得最接近20212.

猜幾次就可以猜到k=39時最接近, 為20540. (代公式找)



很棒的解法,這裡講一下怎樣比較有效率的猜k=39.


令 f(k) = 1 到 k的平方和 = k(k+1)(2k+1)/6 , 則k 的條件,可以寫成如下的不等式:

f(k-1) n(n+1)(2n+1)/12   f(k)

中間式子除以12 是分成兩半的結果


可以輕易證明 2k > n

所以當 n 很大時, 上面的不等式"大約" 與如下的不等式等價 (僅保留最高的三次項):
   f(k) ~ k^3/3
  (k-1)^3/3 < n^3/6 < k^3/3
k-1 < n/2^(1/3) < k

本題中 n = 49, 所以
k-1 < 38.89 < k

根據此不等式,  正解的k 應該就在38,39 附近.

lskuo
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