[數學] 高中 機率

[數學] 高中 機率

devell 於 星期三 六月 19, 2013 9:51 pm


一袋中有4個白球,3個綠球,從袋中取球兩次,每次同時取出兩球,取出的球不放回袋中,

請問第二次同時取出兩個綠球的機率是多少?

devell
大 師
大 師
 
文章: 303
註冊時間: 2005-03-07

Tzwan 於 星期四 六月 20, 2013 2:00 pm


此問題相當於: 一次取一顆球, 第三次和第四次取到綠球的機率.

第三次取到綠球的機率 = 第一次取到綠球的機率 = 3/7

第四次取到綠球相對於第三次取到綠球的機率 = 2/6   (少一顆綠球後取到綠球的機率)

總共: (3/7)*(2/6) = 1/7

Tzwan
初學者
初學者
 
文章: 33
註冊時間: 2013-04-01

Re: [數學] 高中 機率

lskuo 於 星期四 六月 20, 2013 3:55 pm


devell 寫到:一袋中有4個白球,3個綠球,從袋中取球兩次,每次同時取出兩球,取出的球不放回袋中,

請問第二次同時取出兩個綠球的機率是多少?


按部就班的解法:
第一次有三種可能:
(White,White): 4/7 * 3/6 = 2/7
(White,Green): 4/7 * 3/6 + 3/7 * 4/6 = 4/7
(Green,Green): 3/7 * 2/6 = 1/7

第二次都拿綠球:
(W,W)(G,G) = 2/7 * ( 3/5 * 2/4) = 6/70
(W,G)(G,G) = 4/7 * ( 2/5 * 1/4) = 4/70
(G,G)(G,G) = 1/7 * (1/5 * 0/4) = 0
----------------------------------------------------
加總: 6/70 + 4/70 = 1/7

如果白球有w顆, 綠球有g顆,
第一次有三種可能:
(W,W) = w/(w+g) * (w-1)/(w+g-1)
(W,G) = 2wg/(w+g)/(w+g-1)
(G,G) = g/(w+g) * (g-1)/(w+g-1)

第二次都拿綠球:
(W,W)(G,G) = w(w-1)/(w+g)/(w+g-1) * { g(g-1)/(w+g-2)/(w+g-3)  }
(W,G)(G,G) = 2wg/(w+g)/(w+g-1) * { (g-1)(g-2)/(w+g-2)/(w+g-3)  }
(G,G)(G,G) = g(g-1)/(w+g)/(w+g-1) * { (g-2)(g-3)/(w+g-2)/(w+g-3)  }
---------------------------------------------------------------------------------------
加總起來即可
分子: g(g-1)[ w(w-1) + 2w(g-2) + (g-2)(g-3)] = g(g-1)(w+g-2)(w+g-3)
分母: (w+g)(w+g-1)(w+g-2)(w+g-3)
所以最終為 g(g-1)/(w+g)/(w+g-1)
與Tzwan 的推論一致

lskuo
專 家
專 家
 
文章: 219
註冊時間: 2010-11-10

devell 於 星期四 六月 20, 2013 5:50 pm


我也是算 1/7

不過答案是6/35

devell
大 師
大 師
 
文章: 303
註冊時間: 2005-03-07

lskuo 於 星期五 六月 21, 2013 10:57 am


devell 寫到:我也是算 1/7

不過答案是6/35


那就是答案錯了。

lskuo
專 家
專 家
 
文章: 219
註冊時間: 2010-11-10

lskuo 於 星期五 六月 21, 2013 2:11 pm


Tzwan 寫到:此問題相當於: 一次取一顆球, 第三次和第四次取到綠球的機率.


也許有人不清楚 Tzwan的解題邏輯,續貂一下:

因為是取出不放回的互斥特性,也可以想成是從1到7的數字中,挑出四個,組成四位數,個位數與十位數代表第一次取出的兩球,千位與百位代表第二次取出的球。假設1,2,3,4代表白球,5,6,7代表綠球。則題目就變成千位與百位數是76,67,75,57,65,56的機率。

從變換的題型中,可以看出要解此題,其實不必理會個位數與十位數,也就是說不必理會第一次取出的兩球為何,只要專注在千位數與百位數的擺法即可。

所以,解法變成是先算出所有千位數與百位數可能的組合,即從7個數中挑兩個(不管順序): 7*6/2 = 21,
而符合條件的則是從(5,6,7)三個數中挑兩個數的組合: 3*2/2 = 3

因此機率是 3/21 = 1/7.

lskuo
專 家
專 家
 
文章: 219
註冊時間: 2010-11-10






高中數學問題