[高中] 數甲 2題目

[高中] 數甲 2題目

訪客 於 星期四 六月 13, 2013 2:12 am


(1)
設x>=0,y>=0且x+2y=1   則x^3+2y^3的最小值為何?


(2)
設通過(0,-2) (2,6)兩點的圓與x軸相交於AB兩點,則線段AB長的最小值為何?

訪客

 

Tzwan 於 星期四 六月 13, 2013 10:23 pm


(1)

    令f(y)=x3+2y3
    因x+2y=1, 所以x=1-2y
    => f(y)=(1-2y)3+2y3
                =-6y3+12y2-6y+1
    對f做一次微分
    => f'(y)=-18y2+24y-6
    令f'(y)=0
    => y=1/3 or 1(會不合前題)
    對f'做一次微分
    => f''(y)=-36y+24
    f''(1/3)>0
    => 當y=1/3時, 有relative minimum

    比較relative minimum跟bounds(根據前題所以是當y=0或y=0.5)
    f(1/3)=1/9
    f(0)=1
    f(0.5)=1/4

    則最小值是1/9


(2)

    令通過(0,-2)和(2,6)的直線方程式 L:y=4x-2
    令正交於L且通過(0,-2)和(2,6)中點(1,2)的直線方程式 L':4y=-x+9
    令圓C是通過(0,-2)和(2,6)的圓方程式

    C的圓心必定在L'上, 令(a,b)
    (a,b)帶入L'
    => 4b=-a+9
    => a=-4b+9  -----(*)

    點A, 點(a,0), 和圓心(a,b)形成直角三角形
    斜邊長=半徑=(a2+(b+2)2)
    圓心到點(a,0)長度=b,

    by Pythagorean theorem
    a2+(b+2)2-b2=點A到點(a,0)長2=(AB長/2)2
    by (*)
    =>(-4b+9)2+(b+2)2-b2
    =>16b2-68b+85

    令f(b)=16b2-68b+85
    對f做一次微分
    =>f'(b)=32b-68
    令f'(b)=0
    =>b=17/8
    明顯地, 當b=17/8時有absolute minumun

    AB長的最小值=2(f(17/8))=2(51/2)

Tzwan
初學者
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註冊時間: 2013-04-01

訪客 於 星期五 六月 14, 2013 2:15 pm


第二題解答給(根號51)
難道解答寫錯了(解答無詳解)

訪客

 

Tzwan 於 星期五 六月 14, 2013 2:42 pm


感謝提供答案, 我最後一步計算有疏失,

    f(17/8) = 51/4 不是 51/2

所以最後,

    AB長的最小值=2(f(17/8))=2(51/4) = √51

Tzwan
初學者
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