求解下列兩題:
1.設deg f(x) ≧3, 若f(x)除以x-1 , x2+x+2所得餘式分別為3和 2x-7 ,求f(x)除以(x-1)(x2+x+2)的餘式
2.多項式f(x)=x3-3x+2 ,求多項式 f(f(x))除以x-2的餘式
[高中]高中數學 多項式怎麼解
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由 devell 於 星期五 六月 07, 2013 8:29 am
(1) 設deg f(x) ≧3, 若f(x)除以x - 1 , x^2 + x + 2 所得餘式分別為3和 2x - 7 ,求f(x)除以(x-1)(x^2 + x + 2)的餘式
通常 f(x)除以( x - 1 )( x^2 + x + 2 ) 的餘式為 ax^2 + bx +c
所以 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 ) Q(x) + ax^2 + bx +c
如果是這樣的話，那題目就需要給我 3 個條件，我們才能去解 a、b、c 的值
但這題只給我 f(1) = 3
因此，我們的餘式假設，就必須要用 "降階" 餘式假設法！
本來 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + ax^2 + bx +c
改成 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + m ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )
此時再把 f(1) = 3 套入
f(1) = 0 + m ( 1 + 1 + 2 ) + ( 2 - 7 ) = 3
求得 m = 2
因此可得到 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + 2 ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )
餘式的部分為 2 ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )
再去化簡就可以了！
通常 f(x)除以( x - 1 )( x^2 + x + 2 ) 的餘式為 ax^2 + bx +c
所以 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 ) Q(x) + ax^2 + bx +c
如果是這樣的話，那題目就需要給我 3 個條件，我們才能去解 a、b、c 的值
但這題只給我 f(1) = 3
因此，我們的餘式假設，就必須要用 "降階" 餘式假設法！
本來 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + ax^2 + bx +c
改成 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + m ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )
此時再把 f(1) = 3 套入
f(1) = 0 + m ( 1 + 1 + 2 ) + ( 2 - 7 ) = 3
求得 m = 2
因此可得到 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + 2 ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )
餘式的部分為 2 ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )
再去化簡就可以了！
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devell - 大 師
- 文章: 303
- 註冊時間: 2005-03-07
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