[動腦]可以教我這類型題目的做法嗎?

[動腦]可以教我這類型題目的做法嗎?

love720520520 於 星期二 六月 04, 2013 1:31 pm


一個由5*5個小正方形組成的正方形內…0代表小正方形
00000
00000
00000
00000
00000

請問共有多小個不同大小的正方形?!
請問共有多小個不同大少的長方形?!


同樣一個由5*5大小的正方形,,中間某幾個小正方形與下一行的正方形結合成長2寛1的長方形…用8表示一個長方形
00000
88000
_ _000
00000



請問又有多小個長方形和正方形?!
Q

love720520520
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Tzwan 於 星期四 六月 06, 2013 3:24 pm


對於n*n個小正方形組成的大方方形, (你的問題就把n代成5即可)

Q: 共有多少不同大小的正方形?
A: n個,
  只要看主對角線有多少個元素即可.

Q: 共有多少不同大小的長方形?
A: C(n+2-1, 2),
  就題目上的敘述,
  00 和 0
           0
  是相同大小, 所以視為同一種, 此題相當於從n個數中任取兩個數可重複取的組合數.

Q: 共有多少不同種類的長方形? (長寬對調算不同種)
A: n^2,
  長寬各有n個數選擇, 相當於n個數中任取兩個數可重複取的排列數.

Q: 此大正方形裡有多少正方形?
A: n(n+1)(2n+1)/6,
  邊長為1: n^2個
  邊長為2: (n-1)^2個
  邊長為3: (n-2)^2個
    ...
  邊長為n: 1^2個
  總共: 1^2+2^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Q: 此大正方形裡有多少長方形?
A: C(n^2, 1)*C(n^2-(2n-1), 1)/4 + C(n^2, 1)*C(2n, 1)/2,
  想法: 任意指定兩個0作為長方形的(左上角和右下角)或(左下角和右上角), 可以造出一個長方形.
  case 1: 兩個0指定在不同行和列上
    此長方形會有兩種不同的決定方式, 例如: 取兩個0, (1,2)和(3, 3)決定出的長方形會跟(1, 3)和(3, 2)一樣.
    所以, 方法數相當於從n^2個0中取兩個0在不同行跟列上的組合數, 再除以2, 可得: C(n^2, 1)*C(n^2-(2n-1), 1)/4.
  case 2: 兩個0指定在相同行或列上
    此長方形只有一種決定方式, 方法數相當於任取兩個不同0在同一行或同一列的方法數加上取到兩個相同0的方法數, 可得C(n^2, 1)*C(2n-2, 1)/2 + C(n^2, 1) = C(n^2, 1)*C(2n, 1)/2
  總共: C(n^2, 1)*C(n^2-(2n-1), 1)/4 + C(n^2, 1)*C(2n, 1)/2

若有誤請糾正, 謝謝!

(你第二張圖看起來怪怪的)

Tzwan
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