[大學]拓樸學問題

[大學]拓樸學問題

aegir978 於 星期日 十一月 04, 2012 4:47 pm


A topological space  (Χ,τ)is said to satisfy the second axiom of countability or to be second countable if there exists a basis βfor τ , where β consists of only a countable number of sets.

Let (Χ,τ)be the set of all integers with the finite-closed topology. Does the space (Χ,τ)satisfy the second axiom of countability?


可以這樣令嗎?

X=Z        τ :finite-closed topology

τ = {O,Z,Z-{1},Z-{2},Z-{1,2},......}

aegir978
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benice 於 星期二 十一月 06, 2012 6:53 am


基底(basis)選 τ 就行了,因為 τ 本身就是可數(countable)了!

τ 的定義為{Ø}∪{Χ-A│A為Χ的有限子集}。

因為『可數集的所有有限子集所成的集合為可數』,
所以{A│A為Χ的有限子集}為可數,
所以{Χ-A│A為Χ的有限子集}為可數,
因此 τ 為可數。


註:
關於『可數集的所有有限子集所成的集合為可數』的證明請參考『集合論』
方面的書籍,或在以下網頁
http://www.science.uva.nl/~seop/entries/set-theory/primer.html
的頁面上搜尋以下字串
The set of all finite subsets of a countable set is countable.

benice
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