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2<a<5 ,  -1<b<3    求ab+a-b-1

我的問題是為何不可以求ab的範圍  +  a的範圍  +  (-b)的範圍之後再減1

而是用先因式分解成(b+1)(a-1)後再計算

能請老師指點我的盲點在哪嗎?

類似以下例子：



函數 f(x) = x (綠線)
函數 g(x) = -2x + 1 (藍線)

-1≦x≦1
==> -1≦f(x)≦1 且 -1≦g(x)≦3
==> (-1) + (-1) ≦ f(x) + g(x) ≦ 1 + 3
==> -2 ≦ f(x) + g(x) ≦ 4。

但是，f(x) + g(x) = x + (-2x + 1) = -x + 1 (紅線)，
所以，-1≦x≦1 ==> 0 ≦ f(x) + g(x) ≦ 2。

因此，f(x) + g(x) 在 [-1,1] 區間的(最小)範圍為 0 ≦ f(x) + g(x) ≦ 2，
而非 -2 ≦ f(x) + g(x) ≦ 4。

bert 寫到:.............................................................................................

2<a<5 ,  -1<b<3    求ab+a-b-1

我的問題是為何不可以求ab的範圍  +  a的範圍  +  (-b)的範圍之後再減1

而是用先因式分解成(b+1)(a-1)後再計算

能請老師指點我的盲點在哪嗎?

不是不可以, 而是這樣做, 可能不是"最好"的範圍.

為何不可以求ab的範圍  +  a的範圍  +  (-b)的範圍之後再減1
            

我們先從一個基本觀念來說

現在有一個方程式：

當時，方程式會有最大值！

也就是說，此時的x已經確定，所以x都必須代入2才行。

因此，從題目 2<a<5 ,  -1<b<3  來看，

兩不等式相乘時，會得到    -5 < ab < 15  

此時a、b的值已經確定，當 a = 5 , b = 3 時，會有最大值15； 當 a = 5 , b = -1 時，會有最小值-5  

所以，ab的範圍  +  a的範圍  +  (-b)的範圍之後再減1
                              (這裡錯誤)   (這裡錯誤)         因為a,b的值已經確定，所以不能再用a的範圍跟b的範圍做加減！

而是應該   ab的範圍  +  a的定值  +  (-b)的定值之後再減1    

因此， 要求ab+a-b-1 的極值

a = 5 , b = 3 時，代入會有最大值
a = 5 , b = -1 時，代入會有最小值

則 0 < ab + a - b - 1 < 16

devell 寫到:為何不可以求ab的範圍  +  a的範圍  +  (-b)的範圍之後再減1
            

我們先從一個基本觀念來說

現在有一個方程式：

當時，方程式會有最大值！

也就是說，此時的x已經確定，所以x都必須代入2才行。

因此，從題目 2<a<5 ,  -1<b<3  來看，

兩不等式相乘時，會得到    -5 < ab < 15  

此時a、b的值已經確定，當 a = 5 , b = 3 時，會有最大值15； 當 a = 5 , b = -1 時，會有最小值-5  

所以，ab的範圍  +  a的範圍  +  (-b)的範圍之後再減1
                              (這裡錯誤)   (這裡錯誤)         因為a,b的值已經確定，所以不能再用a的範圍跟b的範圍做加減！

而是應該   ab的範圍  +  a的定值  +  (-b)的定值之後再減1    

因此， 要求ab+a-b-1 的極值

a = 5 , b = 3 時，代入會有最大值
a = 5 , b = -1 時，代入會有最小值

則 0 < ab + a - b - 1 < 16

請問大大一下,
如果-4 小於等於 x 小於等於 2 且 0 小於等於 y 小於等於 6
則求xy-x-y-2之範圍
又該如何解釋?
2種方法出來的答案不同...

先來做分解型的做法：

xy-x-y-2
= x(y-1)-y-2
= x(y-1)-y+1-1-2
= x(y-1)-(y-1)-3
= (x-1)(y-1)-3

已知 -4x2
        0y6

  則  -5x-11
       -1y-15

       -25 (x-1)(y-1)5
       -28 (x-1)(y-1)-32

另一種直接找出最大跟最小值

已知 -4x2
        0y6

先找出 xy 的範圍

  -24 xy 12

(1) 當 x = 2 , y = 6 時  xy 有最大值12

      所以代入 xy-x-y-2 的最大值為 2

(2) 當 x = -4 , y = 6 時  xy 有最小值-24

      所以代入 xy-x-y-2 的最小值為 -28

因此

  -28 xy-x-y-2 2

我的問題是為何不可以求ab的範圍  +  a的範圍  +  (-b)的範圍之後再減1

簡單來說，是因為「ab的最大值」和「a的最大值」、「(-b)的最大值」並不會同時發生。最小值亦同。