[大學]極限定義證明lim(x→3) (x^2+x-5)=7

[大學]極限定義證明lim(x→3) (x^2+x-5)=7

vulcanmetal 於 星期二 七月 03, 2012 4:22 pm


證明過程:

依極限定義,我們要證明,對任意ε>0,存在一δ>0,使得若0<│x-3│<δ,則│(x^2+x-5)-7│<ε成立

│(x^2+x-5)-7│=│x^2+x-12│=│x+4││x-3│

暫定│x-3│<1 ,則│x+4│=│(x-3)+7│≦│x-3│+7<8

│(x^2+x-5)-7│=│x+4││x-3│< 8│x-3│<ε,即│x-3│</8>0,取δ=min(1,ε/8)

0<│x-3│<δ → │(x^2+x-5)-7│=│x+4││x-3│<8δε

故lim(x→3) (x^2+x-5)=7

---------------------------------------------------------------------------------------------


我不懂的地方是紅色那裡

ε是任意選擇的,定義要求,要滿足│(x^2+x-5)-7│<ε

既然只須滿足│(x^2+x-5)-7│<ε

8│x-3│<ε是否不見得成立?






vulcanmetal
初學者
初學者
 
文章: 17
註冊時間: 2011-08-21

vulcanmetal 於 星期二 七月 03, 2012 4:38 pm


是否會發生這種情況?

我知道這樣推出的δ會符合極限的定義
對任意ε>0,δ=min(1,ε/8)時,就一定會│x-3│<δ→│(x^2+x-5)-7│<ε

但是就是證明過程中那個8│x-3│<ε
看似忽略了ε小於或等於8│x-3│之情形
讓我一直很在意


是我自己想太多橫生枝節?
但還是請告訴我,我覺得ε可能小於或等於8│x-3│,這想法出錯之處


還是證明的後面那幾行把這個可能性(ε小於或等於8│x-3│),給排除掉了?

vulcanmetal
初學者
初學者
 
文章: 17
註冊時間: 2011-08-21

vulcanmetal 於 星期二 七月 03, 2012 4:39 pm



vulcanmetal
初學者
初學者
 
文章: 17
註冊時間: 2011-08-21

Re: [大學]極限定義證明lim(x→3) (x^2+x-5)=7

benice 於 星期三 七月 04, 2012 1:35 am


vulcanmetal 寫到:

我不懂的地方是紅色那裡

ε是任意選擇的,定義要求,要滿足│(x^2+x-5)-7│<ε

既然只須滿足│(x^2+x-5)-7│<ε

8│x-3│<ε是否不見得成立?





ε 是任意大於零的數,不能讓你選擇,你要找(選擇)的是 δ,而不是 ε!

我把紅色的地方改成 8│x-3│< 8 δ

所以當 8 δ <ε 時,也就是 δ < ε/8 時(還有先前的暫定 δ<1),自然會有 ...(省略)... 8│x-3│<ε 的結果。

也就是說,當你選取 δ=min(1,ε/8) 時,滿足 0<x-3 的 x 值一定也會滿足 │(x^2+x-5)-7│< 8│x-3│<ε


benice
專 家
專 家
 
文章: 269
註冊時間: 2010-02-08

vulcanmetal 於 星期三 七月 04, 2012 5:01 pm


我想通了

因為│x-3│<δ,其中δ可以任意取,所以當然能使8│x-3│<ε,儘管ε是任意數

後來我看了別本書,她把事前分析跟證明分開,並換了種講法

她說取δ=ε/8,8│x-3│<ε就必然成立了

我發問中的那篇證明就沒寫很清楚,笨笨的我就看不懂了

也謝謝你的回答啊

這題我完全沒問題了

vulcanmetal
初學者
初學者
 
文章: 17
註冊時間: 2011-08-21






大學以上數學問題