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湊數字湊不出來，不知道有什麼好做法

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將標準拋物線 Γ'：(x - 2/√13)² = 4(1/√13)(y + 3/√13) 的圖形以原點為轉軸，
逆時針旋轉 θ 角(θ 的近似值約為 56.31°)，即可和題目的原圖形 Γ 重合。
精確值為 sinθ = 3/√13，cosθ = 2/√13。
﹝Γ' 與 θ 的計算請參考：http://www.yll.url.tw/viewtopic.php?t=36282﹞  



將 Γ' 的焦點 (2/√13, -2/√13) 逆時針旋轉 θ 角即可得到原拋物線的焦點 (10/13, 2/13)。■

參考公式：

以原點為轉軸，逆時針旋轉 θ角的效應：

(1) 點 (x,y)　→　點 (x*cosθ-y*sinθ, x*sinθ+y*cosθ)

(2) 方程式 f(x,y) = 0 的圖形　→　方程式 f(y*sinθ+x*cosθ, y*cosθ-x*sinθ) = 0 的圖形

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My Gallery: benice equation (benice 方程式)

wichan 寫到:
湊數字湊不出來，不知道有什麼好做法

預備知識:
1. 對照拋物線標準式: x² = 4py
2. 對稱軸 x=0 (平方項)
3. 焦點(0,p)
4. 頂點(0,0) 為直線 x=0 與 y=0 的交點 (注意此兩直線互相垂直)
5. 圖形與焦點在 y=0 的同一側

6. 圖形平移(h,k), 則方程式變為 (x-h)² = 4p(y-k)
7. 旋轉 x = ax' + by', y=-bx' + ay', 且 a² + b² = 1, 拋物線方程式變成 (ax'+by')² = 4p(-bx'+ay')
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1. 已知是拋物線, 則二次項可配方成完全平方
(2x+3y)² = -4x + 20y + 8

2. 由此可知, 此拋物線的對稱軸與 2x+3y=0 平行,
所以令對稱軸方程式為 2x+3y+k=0, 則
(2x+3y+k)² = (4k-4)x + (20+6k)y + 8 + k²

3. 決定k值的方法:
2x+3y+k=0 與 (4k-4)x+(20+6k)y+8+k² =0 互相垂直.
因此 2(4k-4) + 3(20+6k) = 0, 可算出 k = -2

4. 頂點A:
2x+3y-2=0 與 -12x+8y+12=0 的交點
A=(1,0)

5. 平移: 將圖形平移使得頂點在原點, 也就是往(-1,0)的方向平移
則  (2x+3y)² = -12x + 8y
(此處不必計算, 直接將常數項捨棄即是平移結果, why? 自己想看看)

6. 為方便計算, 先將右式的x,y係數, 寫成: (2x+3y)² = 4(-3x+2y)
注意: 重點是寫成左邊(2,3), 而右邊(-3,2) 的形式, 並不是提出 4的倍數

7. 兩邊同除以 (2² + 3²) = 13, 則可以符合旋轉公式 a² + b² = 1的要求
  (2x+3y)²/13 = 4/√13 * [(-3x+2y)/√13]
所以 4p = 4/√13, 因此可得 p = 1/√13

8. 記得頂點A(xa,ya)=(1,0)與焦點F(xf,yf)都在對稱軸上, 相距p, 而對稱軸上的單位向量為 (-3/√13,2/√13)
  所以 xf - xa = -3/√13 * p = -3/13,
      yf - ya = 2/√13 * p = 2/13
  因此焦點座標F = (1-3/13,2/13) = (10/13,2/13)
  為什麼對稱軸的單位向量要用 (-3/√13√,2/√13), 而不用反方向呢? 自己想想看.

(對照 benice 的圖, 會更清楚!, 感謝benice)

嚐試理解旋轉中

不過後來想到一個方法
假設準線L:ax+by-c=0，焦點(h,k)
根據拋物線的定義，拋物線上一點到焦點之距離等於到準線之距離

等號兩邊平方在整理之後再比照題目就可求出所有未知數

wichan 寫到:嚐試理解旋轉中

不過後來想到一個方法
假設準線L:ax+by-c=0，焦點(h,k)
根據拋物線的定義，拋物線上一點到焦點之距離等於到準線之距離

等號兩邊平方在整理之後再比照題目就可求出所有未知數

1. 根號內第二項應該是 (y-k)^2
2. 雖然條條道路通羅馬, 但路上平坦荊棘不一, 照建議的解法, 首先就會碰到 h,k的平方, 可能要解h,k的一元二次方程式 (一般並不愉快), 加上a^2 + b^2, 看到就覺得路上石頭不少吧!