[國小] 小六資優應用題

[國小] 小六資優應用題

bradbradasdf 於 星期四 一月 26, 2012 6:08 pm


這是小朋友說的題目 可是似乎這種類型是新題型? 當小朋友說是小六題目時 我一直不能苟同.. 煩請各位大大的指教 =)

a b b c 乘以 d = a e a e a (不同的文字代表不同的數)

請問? a b c d e 分別為何?

bradbradasdf
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[國小]小六資優問題

wow000321 於 星期二 一月 31, 2012 3:15 pm


A=1
B=4
C=3
D=7

wow000321
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Re: [國小] 小六資優應用題

lskuo 於 星期四 二月 02, 2012 10:26 pm


bradbradasdf 寫到:這是小朋友說的題目 可是似乎這種類型是新題型? 當小朋友說是小六題目時 我一直不能苟同.. 煩請各位大大的指教 =)

a b b c 乘以 d = a e a e a (不同的文字代表不同的數)

請問? a b c d e 分別為何?


推論0: c不可能是0或1

推論一: b > a
Reason: 如果 b 最大abbc的形式為9889, 而9889 * 9 = 89001
a=8, --> 最大abbc的形式為8779, 而8779 * 9 = 79011
a=7, --> 最大abbc的形式為7669, 而7669 * 9 = 69021
a=6, --> 最大abbc的形式為6559, 而6559 * 9 = 59031
a=5, --> 最大abbc的形式為5449, 而5449 * 9 = 49041
a=4, --> 最大abbc的形式為4339, 而4339 * 9 = 39051
a=3, --> 最大abbc的形式為3229, 而3229 * 9 = 29061
a=2, --> 最大abbc的形式為2119, 而2119 * 9 = 19071
a=1, --> 最大abbc的形式為1009, 而1009 * 9 =  9081

由此可得:
1. a 不可能是9, 因為如果a=9, 則沒有適合的b
1. a 不可能是8, 因為如果a=8, 則b=9, 那麼899c這樣的四位數, 最大的乘積是在d=7的情況下, 但不管個位數c是多少, 乘積的萬位數是6,不會是8
2. b 不可能是0, 因為如果b=0, 則沒有適合的a
3. b 不可能是1, 因為如果b=1, 則沒有適合的a (a是最高位數, 不能為0)
4. b 不可能是2, 因為如果b=2, 則a只能是1, 但是122c只能乘以9,才會成為五位數,因此d=9. 如此一來,沒有合適的c滿足"不同文字代表不同的數"的條件.

推論二: d > 5 (所以d 只可能是6,7,8,9)
Reason: 如果 d小於等於5, 那任何四位數乘以d, 其乘積的萬位數一定小於原來的千位數, 以數學式表示的話, 也就是
10000*a - 5*(1000*a + 110*b + c) = 5000*a - 550*b - 5*c > 5000*1 - 550*9 - 5*9 = 5 > 0  (a=1,b=c=9的情況)

推論三: d 一定是奇數(更精確的說, d只能是7或9; 而因為乘數d是奇數, 所以a,c必須同為奇數或同為偶數)
d 如果是偶數, 那麼
--> 1. a也一定是偶數 (所以 abbc 一定大於 2000)
    2. d只可能是8, 不然任何大於2000的四位數乘以6(6是僅次於8的最大偶數), 乘積的萬位數一定比原來千位數小, 更不用說d小於6的情況了.
Proof:
  if a >= 2, 0< b,c <10> 0

但是如果 d= 8, a 只能是2,4或6, 可是4或6都不能滿足乘積的萬位數也是對應的4或6. 因此, a只能是2, c 也只好是4或9(滿足cd相乘的個位數是a), 但所有可能的b, 都不能滿足乘積是aeaea的形式.
(2334,2554,2664,2774,2994,2339,2449,2559,2669,2779 這些數乘以8都不是 aeaea的形式)

推論四: a與c兩數均不可能是5
Reason: 如果c是5, 則乘積aeaea的個位數也會是5.

推論五: d 不可能是 9
Reason: 綜合以上的推論, 如果d=9, 那a,c只可能是1,3,7, 但c不能為1,所以剩下 3bb7 和 7bb3 兩種形式. 但所有可能的b都不能滿足最後aeaea的形式
(3447,3557,3667,3887,7883這些數乘以8都不是 aeaea的形式)

推論六: 考慮上面所有的推論, 得到 d = 7

推論七: b要比a大2以上, 也就是說,b-a >= 3, 並且 a <3> 3100*a,
因此, b 要比a 大一定的程度, 否則不等式不會成立. 假設 b = a + y, 則
770*(a+y) + 7*c -3100*a = 770*y + 7*c - 2330*a > 0.
因為 a 最小是1, c 最大是9, 要不等式成立, y 不能小於3.
又y 最大為8 (當b=9, a=1), 所以a也不能太大, 否則不等式也不會成立. 令 y=8, 得知 a 不能大於 3.

現在知道 a=1或2
如果a = 1 --> c = 3, 試誤法: 1443,1553,1663,1883,1993--> x = 1443
如果a = 2 --> c = 6, 試誤法: 2556,2886,2996 -->x = 2886

Answer:
d=7, e=0, (a,b,c)=(1,4,3),(2,8,6)

Note:
有些推論也可以從推論七中的不等式得到(例如b>a)

lskuo
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Re: [國小] 小六資優應用題

lskuo 於 星期五 二月 03, 2012 10:29 am


bradbradasdf 寫到:這是小朋友說的題目 可是似乎這種類型是新題型? 當小朋友說是小六題目時 我一直不能苟同.. 煩請各位大大的指教 =)

a b b c 乘以 d = a e a e a (不同的文字代表不同的數)

請問? a b c d e 分別為何?

已知 1: 如果 d 是偶數, 那麼 a 也必須是偶數, 所以此時 a 一定大於等於 2.
已知 2: d 一定大於 1.
已知 3: c 不能是 0, 否則 a 也會是0.
已知 4: c 不能是 1, 否則 a 會等於 d.
已知 5: a,c,d三數都不能是 5, 否則有數字重複, 或者a會是0的問題.

以下用一般正常的數學表示法, 也就是說兩未知數寫在一起, 表示相乘的意思.

令 被乘數為x, 則 x = 1000a+110b+c ,
所以乘上d之後為 xd = 1000ad+110bd+cd = 10101a + 1010e

(10101 - 1000d)a = 110bd + cd - 1010e <= 110bd + cd

假設b跟a相差y, 也就是說 b = a+y, 那麼代入上面的不等式
    (10101-1000d)a ≤ 110(a+y)d + cd
所以 (10101-1110d)a ≤ (110y + c)d

1. 因為 d最大為 9, 所以
  0< (10101-1110*9) ≤ (10101-1110d)a ≤ (110y + c)d
所以y 一定要大於0, 也就是說, b一定大於a.

2. y最大為 8 (當a=1,b=9), c 最大為9, a最小為1, 所以
    (10101 - 1110d) ≤ (10101 - 1110d)*a ≤ (110y + c)d ≤ (110*8+9)d=889d
所以 10101 ≤ (1110+889)d = 1999d
所以 d ≥ 5.05

3.  如果已知a, y的最大值為 9-a. 利用此項資訊, 如果d也已知的話, 我們還可以找出a的上限
所以 a(10101-1110d) ≤ 110yd + cd ≤ 110(9-a)d + cd
所以 a(10101-1000d) ≤ (990+c)d ≤ 999d
所以 a ≤ 999d/(10101-1000d)

4. 利用a最小為1的條件, 如果d也已知的話, 我們也可以找出y的下限
所以 (10101-1110d) ≤ (110y + c)d
所以 y ≥ (10101-1110d)/100/d -c ≥ ((10101-1110d)/d -9)/110

到這裡, 應該就可以用窮舉試誤法了.

lskuo
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Re: [國小] 小六資優應用題

bradbradasdf 於 星期日 二月 26, 2012 11:20 am


感謝大大詳盡的說明 =)

lskuo 寫到:
bradbradasdf 寫到:這是小朋友說的題目 可是似乎這種類型是新題型? 當小朋友說是小六題目時 我一直不能苟同.. 煩請各位大大的指教 =)

a b b c 乘以 d = a e a e a (不同的文字代表不同的數)

請問? a b c d e 分別為何?


推論0: c不可能是0或1

推論一: b > a
Reason: 如果 b 最大abbc的形式為9889, 而9889 * 9 = 89001
a=8, --> 最大abbc的形式為8779, 而8779 * 9 = 79011
a=7, --> 最大abbc的形式為7669, 而7669 * 9 = 69021
a=6, --> 最大abbc的形式為6559, 而6559 * 9 = 59031
a=5, --> 最大abbc的形式為5449, 而5449 * 9 = 49041
a=4, --> 最大abbc的形式為4339, 而4339 * 9 = 39051
a=3, --> 最大abbc的形式為3229, 而3229 * 9 = 29061
a=2, --> 最大abbc的形式為2119, 而2119 * 9 = 19071
a=1, --> 最大abbc的形式為1009, 而1009 * 9 =  9081

由此可得:
1. a 不可能是9, 因為如果a=9, 則沒有適合的b
1. a 不可能是8, 因為如果a=8, 則b=9, 那麼899c這樣的四位數, 最大的乘積是在d=7的情況下, 但不管個位數c是多少, 乘積的萬位數是6,不會是8
2. b 不可能是0, 因為如果b=0, 則沒有適合的a
3. b 不可能是1, 因為如果b=1, 則沒有適合的a (a是最高位數, 不能為0)
4. b 不可能是2, 因為如果b=2, 則a只能是1, 但是122c只能乘以9,才會成為五位數,因此d=9. 如此一來,沒有合適的c滿足"不同文字代表不同的數"的條件.

推論二: d > 5 (所以d 只可能是6,7,8,9)
Reason: 如果 d小於等於5, 那任何四位數乘以d, 其乘積的萬位數一定小於原來的千位數, 以數學式表示的話, 也就是
10000*a - 5*(1000*a + 110*b + c) = 5000*a - 550*b - 5*c > 5000*1 - 550*9 - 5*9 = 5 > 0  (a=1,b=c=9的情況)

推論三: d 一定是奇數(更精確的說, d只能是7或9; 而因為乘數d是奇數, 所以a,c必須同為奇數或同為偶數)
d 如果是偶數, 那麼
--> 1. a也一定是偶數 (所以 abbc 一定大於 2000)
    2. d只可能是8, 不然任何大於2000的四位數乘以6(6是僅次於8的最大偶數), 乘積的萬位數一定比原來千位數小, 更不用說d小於6的情況了.
Proof:
  if a >= 2, 0< b,c <10> 0

但是如果 d= 8, a 只能是2,4或6, 可是4或6都不能滿足乘積的萬位數也是對應的4或6. 因此, a只能是2, c 也只好是4或9(滿足cd相乘的個位數是a), 但所有可能的b, 都不能滿足乘積是aeaea的形式.
(2334,2554,2664,2774,2994,2339,2449,2559,2669,2779 這些數乘以8都不是 aeaea的形式)

推論四: a與c兩數均不可能是5
Reason: 如果c是5, 則乘積aeaea的個位數也會是5.

推論五: d 不可能是 9
Reason: 綜合以上的推論, 如果d=9, 那a,c只可能是1,3,7, 但c不能為1,所以剩下 3bb7 和 7bb3 兩種形式. 但所有可能的b都不能滿足最後aeaea的形式
(3447,3557,3667,3887,7883這些數乘以8都不是 aeaea的形式)

推論六: 考慮上面所有的推論, 得到 d = 7

推論七: b要比a大2以上, 也就是說,b-a >= 3, 並且 a <3> 3100*a,
因此, b 要比a 大一定的程度, 否則不等式不會成立. 假設 b = a + y, 則
770*(a+y) + 7*c -3100*a = 770*y + 7*c - 2330*a > 0.
因為 a 最小是1, c 最大是9, 要不等式成立, y 不能小於3.
又y 最大為8 (當b=9, a=1), 所以a也不能太大, 否則不等式也不會成立. 令 y=8, 得知 a 不能大於 3.

現在知道 a=1或2
如果a = 1 --> c = 3, 試誤法: 1443,1553,1663,1883,1993--> x = 1443
如果a = 2 --> c = 6, 試誤法: 2556,2886,2996 -->x = 2886

Answer:
d=7, e=0, (a,b,c)=(1,4,3),(2,8,6)

Note:
有些推論也可以從推論七中的不等式得到(例如b>a)

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