1234door 寫到:聽說無理數比有理數多,
但有理數不是有無限多個嗎?
比無限還要多?有這種數字嗎?
很好, 提出這種疑問. 要回答這個問題, 必須先了解所謂 "可數" (countable) 的概念.
所謂可數, 簡單的說, 就是集合內元素的個數可以與自然數(由小到大)開始對應, 那就是可數. 例如{a,c,g,q,z,h}, 我們可以將a-->1, c-->2, g-->3, q-->4, z-->5, h-->6, 所以這個集合是可數的, 總共有6個元素,
關於有理數是可數的, 可參考以下連結:
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:1nj32iXhdCoJ:www.ptt.cc/bbs/Math/M.1284035947.A.71C.html+%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B8+%E5%8F%AF%E6%95%B8+countable&cd=1&hl=zh-TW&ct=clnk&gl=tw&lr=lang_zh-TW
至於無理數是不可數的證明, google 一下應該很多, 就不贅述了.
岔開話說一個有趣的性質:
一般來說, 子集合的個數不會比原先的集合多. 但當個數是無限的時候, 就不一定了. 舉例來說, 自然數是奇數(1,3,5,7,...)與偶數(2,4,6,8,...)的集合. 所以偶數是自然數的一個子集合, 但是偶數2n(奇數也一樣)的個數與自然數是一樣多!!! (因為每一個偶數 2n, 都會跟自然數n對應, 也就是說, 偶數是可數的)