A. 考慮 C ≠ 0 或 D ≠ 0。
假設 D ≠ 0 (C ≠ 0 的情況類似,省略)
將原式整理成
A cos(α) - C = B cos(β)
A sin(α) - D = B sin(β)
以上兩式等號兩邊分別平方,得
A²cos²(α) + C² - 2 A C cos(α) = B²cos²(β)
A²sin²(α) + D² - 2 A D sin(α) = B²sin²(β)
以上兩式等號左右分別相加,得
A²[cos²(α) + sin²(α)] - 2A[C cos(α) + D sin(α)] + C² + D² = B²[cos²(β) + sin²(β)]
因為 cos²(α) + sin²(α) = 1 且 cos²(β) + sin²(β) = 1,得
A² - 2A[C cos(α) + D sin(α)] + C² + D² = B² ...... (1)
將原式整理成
A cos(α) = B cos(β) + C
A sin(α) = B sin(β) + D
同理可得
A² = B² + 2B[C cos(β) + D sin(β)] + C² + D² ...... (2)
令θ滿足
sin(θ) = C / √(C² + D²)
cos(θ) = D / √(C² + D²)
﹝即 θ= arctan(C/D)﹞
利用和角公式,可將 (1), (2) 分別化成
A² - 2A[(√(C² + D²)) sin(α+θ)] + C² + D² = B²
A² = B² + 2B[(√(C² + D²)) sin(β+θ)] + C² + D²
再整理成
sin(α+θ) = (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)]
sin(β+θ) = (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)]
所以
α +θ = arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) + 2mπ
β +θ = arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) + 2nπ
或
α +θ = -arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) + π + 2mπ
β +θ = -arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) + π + 2nπ
m, n 為整數。
整理得
α = arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + 2mπ
β = arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + 2nπ
或
α = -arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π + 2mπ
β = -arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π + 2nπ
m, n 為整數。
原式的解集合為
{ (α1 + 2mπ, β1 + 2nπ) | m, n 為整數 } ∪ { (α2 + 2mπ, β2 + 2nπ) | m, n 為整數 }
其中
α1 = arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D)
β1 = arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D)
α2 = -arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π
β2 = -arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π ■
範例圖示(A=5, B=4, C=2, D=1):
圖示線條說明:
紅色:
A cos(x) - B cos(y) = C
綠色:
A sin(x) - B sin(y) = D
粗粉紅:
α = arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + 2mπ
細粉紅:
α = -arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π + 2mπ
粗淡藍:
β = arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + 2nπ
細淡藍:
β = -arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π + 2nπ
原式的解集合 =『所有粗粉紅線與粗淡藍線的交點』∪『所有細粉紅線與細淡藍線的交點』 ■
B. 考慮 C = D = 0
原式可化成
A cos(α) = B cos(β)
A sin(α) = B sin(β)
以上兩式等號兩邊先分別平方,然後左右再分別相加,得
A²[cos²(α) + sin²(α)] = B²[cos²(β) + sin²(β)]
因為 cos²(α) + sin²(α) = 1 且 cos²(β) + sin²(β) = 1,得
A² = B²
所以 A = ±B
1.若 A = B = 0
則原式的解集合為整個平面 { (α, β) | α, β 為實數 }。 ■
2.若 A = B ≠ 0
原式可化成
cos(α) = cos(β)
sin(α) = sin(β)
cos(α) = cos(β)
=> β = α + 2mπ or β = -α + 2mπ
sin(α) = sin(β)
=> β = α + 2nπ or β = -α + π + 2nπ
原式的解集合為 { (α, α + 2kπ) | α 為實數,k 為整數 }。 ■
3.若 A = -B ≠ 0
原式可化成
cos(α) = -cos(β)
sin(α) = -sin(β)
cos(α) = -cos(β)
=> β = α + π + 2mπ or β = -α + π + 2mπ
sin(α) = -sin(β)
=> β = α + π + 2nπ or β = -α + 2nπ
原式的解集合為 { (α, α + π + 2kπ) | α 為實數,k 為整數 }。 ■