你好~ 寫到:0.123456789101112131415... 的小數部分含有任意個相鄰的相同數字
這句可以敘述詳細一點嗎?
謝謝!!
令 Ch = 0.12345678910111213...,
所以
Ch 的小數部分含有任意個相鄰的相同數字 ... (*)
顯然 Ch 為無限小數,以下以反證法證明其為無理數。
假設 Ch 為 p 循環 (p 為正整數),顯然 p≠1。
若循環之前最多有 q 個相鄰的相同數字,
即 Ch 型如
0.12345678910111213...{q 個相鄰的相同數字}...{p 循環}{p 循環}{p 循環}...,
我們選取 k = max{p+1, q+1},則
循環開始後不可能容得下 k 個相鄰的相同數字,此與(*)矛盾!
所以由反證法知 Ch 為循環的假設有誤,
因此 Ch 為不循環的無限小數,即無理數。■