[數學]極限請益

[數學]極限請益

訪客 於 星期六 二月 13, 2010 1:13 am


              √‾x
lim   ────────
x→0     sin3√‾x

請問這題limit 是 1/3還是不存在呢?!!

麻煩各位幫忙解惑一下~謝謝 !!!!

訪客

 

訪客 於 星期六 二月 13, 2010 5:01 pm


不是不存在,而且,當然不是1/3

收斂至大概19-20之間,這點數用計算機試試就知道兩個答案都不是。

from----中學1年級小同學,就是我^^

訪客

 

Re: [數學]極限請益

benice 於 星期一 二月 15, 2010 11:26 pm



       √x
lim ───────────
x→0 sin(3√x)

 1       3√x
=─ lim ───────────
 3 x→0 sin(3√x)

 1       t
=─ lim ─────────
 3 t→0 sin(t)

 1      1
=─ ────────────────
 3     sin(t)
   lim ────────
   t→0   t

 1 1
=─ ──
 3 1

 1
=─
 3

benice
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訪客 於 星期日 二月 21, 2010 7:49 pm


這個問題你可以用夾擠
或是簡單一點用羅畢塔微一次就可以
或者你要用泰勒級數來逼近也沒問題
不過最快的還是如樓上大大
把某些特定的極限值背一下
再用代數法湊一湊也是可以算的

訪客
訪客
 

benice 於 星期日 二月 21, 2010 11:00 pm


訪客 寫到:
不過最快的還是如樓上大大
把某些特定的極限值背一下



不需要背吧!寫清楚一點好了:

    sin(t)
lim ─────────
t→0   t
      sin(t)- sin(0)
= lim ────────────────────
 t→0       t-0

= sin’(0)﹝導數的定義﹞

= cos(0)

= 1

benice
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Re: [數學]極限請益

destinysky19 於 星期三 二月 24, 2010 11:54 pm


benice 寫到:
       √x
lim ───────────
x→0 sin(3√x)

 1       3√x
=─ lim ───────────
 3 x→0 sin(3√x)

 1       t
=─ lim ─────────
 3 t→0 sin(t)

 1      1
=─ ────────────────
 3     sin(t)
   lim ────────
   t→0   t

 1 1
=─ ──
 3 1

 1
=─
 3

上面有一個訪客說不是1/3也不是不存在~
那麼到底是多少呢~?
這樣算沒有錯麼~?
後面有人說的什麼用夾擠.用羅畢塔微.用泰勒級數來逼近都聽不懂...(高2生程度~)
不會這題是正常的麼?~
然後把X趨近於0的部分改成t趨近於0就完全不懂...
請教一下~感謝您~

destinysky19
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Re: [數學]極限請益

benice 於 星期五 二月 26, 2010 1:17 am


destinysky19 寫到:
上面有一個訪客說不是1/3也不是不存在~
那麼到底是多少呢~?

這樣算沒有錯麼~?

如果擔心,明天到學校問你們數學老師。


destinysky19 寫到:
後面有人說的什麼用夾擠.用羅畢塔微.用泰勒級數來逼近都聽不懂...(高2生程度~)

不會這題是正常的麼?~

高二不會應該算正常。
上面那些東西上大學後微積分會教,高三理科數學也有可能會提到,參考:

夾擠定理(Squeeze theorem) -- 又叫三明治定理(Sandwich theorem)
羅必達法則(L'Hospital's rule)
泰勒級數(Taylor series)

destinysky19 寫到:
然後把X趨近於0的部分改成t趨近於0就完全不懂...

請教一下~感謝您~

這個方法叫變數變換,用到的原理是合成函數的極限:
如果 lim f(x) = b 且 lim g(y) = c
   x→a     y→b
則 lim g(f(x)) = c。
  x→a
﹝註:嚴謹一點還要指明函數的定義域與對應域,還有函數的連續性。﹞

令 f(x) = 3√x, g(y) = y/sin(y) --- 這裡的 y 只是個變數符號,你要用 t, u, z, ... 都可以
則 lim f(x) = 3√ 0 = 0
 x→0
且 lim (3√x)/sin(3√x) = lim g(f(x)) = lim g(y) = lim y/sin(y)
 x→0        x→0    y→0   y→0

黑色的 0 就像上面原理中的 a,紅色的 0 像上面的 b。



直覺想法上就是當 x→0 時, 3√x→0,剛好分子分母都出現 3√x,所以令 t = 3√x 作變數變換。

補充一個觀念 x→a 表示 x 趨近於 a,但 x≠a

benice
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destinysky19 於 星期六 七月 24, 2010 10:22 pm


嗚...謝謝~但還是沒有很懂...

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