[大學]線代 證明

[大學]線代 證明

iok543 於 星期三 六月 16, 2010 1:37 pm


1.Show that if k is a scalar and A is nXn, then det(kA)=kndet(A).

2.Show that if A is nxn with n odd and skew symmetric, then det(A)=0.

3.(a)Show that if A = A-1 , then det(A)=正負1
   (b)If AT = A-1 , what is det(A)?

謝謝大大幫忙證一下

iok543
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benice 於 星期六 六月 19, 2010 12:43 pm


1.
行列式的某列元素皆乘上 k 後,所得到的新行列式的值為原來的 k 倍。
所以 A 的每列元素皆乘上 k 後,所得到的新行列式的值為原來的 k^n 倍,
即 det(kA) = (k^n)det(A)。 ■

或者由行列式的定義來證明:

令 A = [a(i,j)]
則 det(A) = Σ﹝± a(1,j1) × a(2,j2) × … × a(1,jn)﹞,
其中 (j1,j2,…,jn) 為 (1,2,…,n) 的重排。

det(kA)
= Σ﹝± ka(1,j1) × ka(2,j2) × … × ka(1,jn)﹞
= (k^n)Σ﹝±a(1,j1) × a(2,j2) × … × a(1,jn)﹞
= (k^n)det(A) ■


2.

A 為反對稱(skew symmetric) => A^t = -A

det(A)
= det(A^t)
= det(-A)
= (-1)^n det(A) ﹝第 1 題的結果﹞
= -det(A) ﹝因為 n 為奇數﹞

所以 det(A) = 0。 ■


3.

(a)

A = A-¹
=> det(A) = det(A-¹) = 1 / det(A)
=> [det(A)]² = 1
=> det(A) = ±1 ■

(b)

A^t = A-¹  ﹝即 A 為正交矩陣(orthogonal matrix)﹞
=> det(A) = det(A^t) = det(A-¹) = 1 / det(A)
=> det(A) = ±1 ■
 
 

benice
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