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doniface · 由 **doniface** 於星期五五月 14, 2010 10:41 am

請教大家幾個函數以及線型函數觀念的問題：

    (1)所有的直線都是x的函數，這個說法對不對?
    (2)如果不去強調x的函數，可以說所有的直線都是一種線型函數嗎?
    (3)所有的線型函數，都是直線對不對?
    (4)絕對值函數算不算線型函數(ex: f(x)=|x|)
    (5)有限制條件的函數是否也可以算線型函數? (ex: f(x)=x+1, -10<x<20)

煩請大家解答

benice · 由 **benice** 於星期五五月 14, 2010 10:10 pm

(1)所有的直線都是x的函數，這個說法對不對?

不對，垂直線不是 x 的函數。

(2)如果不去強調x的函數，可以說所有的直線都是一種線型函數嗎?

可以，X-Y 直角坐標平面上的所有直線都可表成 x 或 y 的線型函數。
平面上的直線可以表示成方程式 (*)： ax + by + c = 0 (a, b 不同時為 0)
(A) 若 b≠0，(*) 可寫成 y = (- a/b)x - c/b，即 y 可表成 x 的一次多項式函數。
(B) 若 a≠0，(*) 可寫成 x = (- b/a)y - c/a，即 x 可表成 y 的一次多項式函數。
(C) 若 b＝0，(*) 可寫成 x = - c/a (垂直線)，即 x 可表成 y 的零次多項式函數。
(D) 若 a＝0，(*) 可寫成 y = - c/b (水平線)，即 y 可表成 x 的零次多項式函數。

(3)所有的線型函數，都是直線對不對?

對，線型函數的圖形為直線。
線型函數(或線形函數)是指單變數的一次或零次多項式函數。
如果自變數為 x，則函數型如 f(x) = ax + b，其圖形為直線。

(4)絕對值函數算不算線型函數(ex: f(x)=|x|)

不算，這類函數一般稱為分段線型函數(Piecewise linear function)，其圖形由線段與射線所組成。
絕對值函數
|x| =
　　　╭ +x，if x≧0
　　　│
　　　╰ -x，if x＜0
以下函數也是分段線型函數的例子
f(x) =
　　　╭ -2x + 6，if x≧2
　　　│
　　　│　　　2，if 1≦x＜2
　　　│
　　　╰ x + 1，if x＜1

(5)有限制條件的函數是否也可以算線型函數? (ex: f(x)=x+1, -10<x<20)

嚴格來講不算，因為其圖形為線段而非直線。不過很多人也都稱它為線型函數。

(注意)
雖然線型函數和線性函數的英文名稱都是 Linear function，但它們的定義不同。
　

neowu · 由 **neowu** 於星期四六月 03, 2010 4:41 pm

恕刪

benice 寫到:
(注意)
雖然線型函數和線性函數的英文名稱都是 Linear function，但它們的定義不同。
　

請問哪裡不同？感謝

benice · 由 **benice** 於星期五六月 04, 2010 1:48 am

neowu 寫到:恕刪
benice 寫到:
(注意)
雖然線型函數和線性函數的英文名稱都是 Linear function，但它們的定義不同。
　

請問哪裡不同？感謝

線型函數如以上所討論 f:R→R，f(x) = ax + b。

線性函數是指函數 f:V→V 滿足

　f(X+Y) = f(X) + f(Y)　　﹝X,Y 屬於 V，V 通常為向量空間﹞
　f(kX) = kf(X)　　﹝X 屬於 V, k 為純量﹞

例如：

f:R²→R²
f( (x,y) ) = ( x+y, x-y )

設 X = (x,y)，Y = (x',y')，x, y, x', y', k 為實數。

則

f( X + Y )
= f( (x,y) + (x',y') )
= f( (x+x', y+y') ) . . . . . . . . . . . . ﹝向量加法﹞
= ( (x+x')+(y+y'), (x+x')-(y+y') ) . . . . . . . . . . . . ﹝函數 f 的定義﹞
= ( (x+y)+(x'+y'), (x-y)+(x'-y') )
= ( (x+y), (x-y) ) + ( (x'+y'), (x'-y') ) . . . . . . . . . . . . ﹝向量加法﹞
= f( (x,y) ) + f( (x',y') ) . . . . . . . . . . . . ﹝函數 f 的定義﹞
= f(X) + f(Y)

f(kX)
= f( k(x,y) )
= f( (kx,ky) ) . . . . . . . . . . . . ﹝純量乘向量﹞
= ( kx+ky, kx-ky ) . . . . . . . . . . . . ﹝函數 f 的定義﹞
= ( k(x+y), k(x-y) )
= k( x+y, x-y ) . . . . . . . . . . . . ﹝純量乘向量﹞
= kf( (x,y) ) . . . . . . . . . . . . ﹝函數 f 的定義﹞
= kf(X)

所以 f 為線性。　■

線型函數 f(x) = ax + b 如果要成為線性函數，則 b 必須為 0。

例如 f(x) = x + 1，則

f(x+y) = (x+y) + 1 ≠ (x + 1) + (y + 1) = f(x) + f(y)。
　
　

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