[數學][大學]尋找數學高手(新!!)

[數學][大學]尋找數學高手(新!!)

逸仔 於 星期三 五月 26, 2010 9:59 am


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖麻煩各位囉~~謝謝

逸仔
初學者
初學者
 
文章: 32
註冊時間: 2010-03-08

sea 於 星期五 五月 28, 2010 8:13 am


lim x2sin(1/x)/x
=lim sin(1/x)/(1/x)
=1

sea
研究生
研究生
 
文章: 140
註冊時間: 2008-07-13

逸仔 於 星期一 五月 31, 2010 5:17 pm


不好意思喔
算出來等於1我已經知道了~謝謝
但我現在還有1個疑問

逸仔
初學者
初學者
 
文章: 32
註冊時間: 2010-03-08

benice 於 星期三 六月 02, 2010 6:35 pm


方程式 x³ + y³ - 3axy = 0 (*)


求 (*) 所定義之曲線的漸近線?


解:

(1) 求 (*) 的參數式

考慮 x≠0,y≠0:

令 y = tx 代入 (*) 得 ﹝注意:t 為變數﹞

x³ + (tx)³ - 3ax(tx) = 0

x²(x + t³x - 3at) = 0

x + t³x - 3at = 0

(1 + t³)x = 3at

x = (3at) / (1 + t³)

y = tx = (3at²) / (1 + t³)

所以 (*) 的參數式為

x(t) = (3at) / (1 + t³)
y(t) = (3at²) / (1 + t³), t 為實數,t≠-1 ■


(2) 參數 t 分成三部分 (-∞, -1), (-1, 0), [0, +∞),請參考附圖。

當 t → -1+ 時,x → -∞ 且 y → +∞

當 t → -1- 時,x → +∞ 且 y → -∞

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

(3) 求漸近線之斜率

x'(t) = (3a) / (1 + t³) - (9at³) / (1 + t³)² = 3a(1 - 2t³) / (1 + t³)²
y'(t) = (6at) / (1 + t³) - 9a(t^4) / (1 + t³)² = 3at(2 - t³) / (1 + t³)²

dy/dx = y'(t)/x'(t) = t(2 - t³) / (1 - 2t³)

lim dy/dx = lim t(2 - t³) / (1 - 2t³) = (-1)(2 - (-1)) / (1 - 2(-1)) = -1
t → -1    t → -1

故 (*) 的漸近線之斜率為 -1 ■


(4) 求漸近線

設漸近線為 x + y + c = 0

曲線 (*) 上的點到漸近線的距離為

│[(3at) / (1 + t³)] + [(3at²) / (1 + t³)] + c│ / √(1² +1²)

=│[3at + 3at² + c(1 + t³)]/(1 + t³)│ / √2

所以

lim │[3at + 3at² + c(1 + t³)]/(1 + t³)│ / √2
t → -1

= (1/√2)│lim [3at + 3at² + c(1 + t³)]/(1 + t³)│  ( 0/0 不定型 )
     t → -1

= (1/√2)│lim [3a + 6at + 3ct²]/(3t²)│ ( By L'Hospital's rule )
     t → -1

= (1/√2)│[3a - 6a + 3c]/(3)│

= (1/√2)│-a + c│

當 c = a 時上式為零

故漸近線為 x + y + a = 0 ■
 

 

benice
專 家
專 家
 
文章: 269
註冊時間: 2010-02-08

逸仔 於 星期三 六月 02, 2010 8:34 pm


超感恩
benice
這位大大

揪甘心~~

但真的很抱歉

我題目少了一個漸字

原來這麼複雜

超感激的詳解

逸仔
初學者
初學者
 
文章: 32
註冊時間: 2010-03-08






大學以上數學問題