[大學]兩題積分問題

[大學]兩題積分問題

shuuji 於 星期六 三月 27, 2010 11:40 am


1.求積分


2.先做變數變換,再用分布積分求值

shuuji
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benice 於 星期六 三月 27, 2010 7:16 pm


[第 1 題]
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

[第 2 題]
令 y=√x => x=y²,dx = 2y dy
所以 ∫sin(√x) dx = ∫(siny)(2y) dy
        = -2 ∫(y) d(cosy)
        = -2 [(y)(cosy) -∫cosy dy] ﹝by 分部積分法:u=y, v=cosy﹞
        = -2 [y cosy - siny + K], K 為常數
        = 2siny - 2y cosy + C, C 為常數
        = 2sin(√x) - 2(√x)cos(√x) + C, C 為常數

註:
其實不先做變數變換也可直接分部積分:

∫sin(√x) dx

  -2(√x)sin(√x)
= ∫ ----------------- dx
    -2(√x)

= -2∫ (√x) d(cos(√x))

= -2 [ (√x)(cos(√x)) - ∫(cos(√x)) d(√x) ] ﹝by 分部積分法:u=√x, v=cos(√x)﹞

= -2 [ (√x)(cos(√x)) - (sin(√x) + K) ], K 為常數

= 2sin(√x) - 2(√x)cos(√x) + C, C 為常數

benice
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