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GFIF 於 星期六 四月 17, 2004 10:04 am


1.試確定一切有理數r,使得關於x的方程rx2+(r+2)x+(r-1)=0有
根且只有整數根

2.已知:a、b、c滿足方程組a+b=8、ab-c2+8c√2=48,試求方程bx2+cx-a=0的根

GFIF
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galaxylee 於 星期三 八月 24, 2005 11:10 pm


1.試確定一切有理數r,使得關於x的方程rx^2+(r+2)x+(r-1)=0有根且只有整數根

sol:
若r=0,則2x-1=0,x=1/2不是整數,不可能。
若r≠0,方程式是二次式
令兩個整數根為a,b,由根與係數關係
a+b=-(r+2)/r = -1-(2/r)........(1)
ab=(r-1)/r = 1-(1/r).............(2)
(2)*2-(1)消去r得2ab-a-b=3
分解成(2a-1)(2b-1)=7
因為2a-1,2b-1皆為整數,所以(2a-1,2b-1)有下列四種可能
(2a-1,2b-1)=(7,1)、(-7,-1)、(1,7)、(-1,-7)
(a,b)=(4,1)、(-3,0)、(1,4)、(0,-3)分別代入(1)或(2)
得r=-1/3或1

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Liu 於 星期二 七月 07, 2009 11:04 am


2.
a+b=8 ----(1)      ab-c2+8c√2=48 ----(2)
(1)2=>>>> a2+2ab+b2=64
(2)*(-4)=>      -4ab+4(c2-8√2+32)=-192+128=-64
相加
a2-2ab+b2+4(c-4√2)2=0
(a-b)2+4(c-4√2)2=0


由此可知
a=b   且c=4√2   又a+b=8    =>  a=b=4


bx2+cx-a=0  => 4x2+4√2x-4=0

可得x= (- √2 +/-  √6)/2


打的有點亂請見諒

Liu
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數學挑戰題之『未解的難題』