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一個感覺很不嚴謹連我自己都覺得是來亂的但我自己又找不到破綻的證法...
假設P代表任意質數
求證N<=P<=2N恆成立
N=1時
有一質數2
成立
令N=K時成立
K<=P<=2K
N=K+1時
假設K+1<=P<=2K+2錯誤
則K+1~2K~2K+2之中沒有質數(若P)
所以K為質數(則Q)
但K為大於1的所有正整數,其中必有合數(若非Q)
故假設錯誤(則非P)
K+1到2K+2之中必有質數
所以N=K+1時也成立
根據數學歸納法...
所以N<=P<=2N恆成立

aaddfg 寫到:一個感覺很不嚴謹連我自己都覺得是來亂的但我自己又找不到破綻的證法...
假設P代表任意質數
求證N<=P<=2N恆成立
N=1時
有一質數2
成立
令N=K時成立
K<=P<=2K
N=K+1時
假設K+1<=P<=2K+2錯誤
則K+1~2K~2K+2之中沒有質數(若P)
所以K為質數(則Q)
但K為大於1的所有正整數,其中必有合數(若非Q)
故假設錯誤(則非P)
K+1到2K+2之中必有質數
所以N=K+1時也成立
根據數學歸納法...
所以N<=P<=2N恆成立

推論有問題： [紅色地方]
你只能推論出當 K ≠ P 時 K+1 ≤ P ≤ 2K+2，
未能推論出 K∈P 時 K+1<=P<=2K+2。
你的推論該為"K+1到2K+2之中可能有質數"而非原來的"...必有..."...


p.s. 沒那麼容易證明吧~~這題目是簡化版的Bertrand猜想：
Paul Erdos 的證明(中文wiki)：link
另一 Pafnuty Chebyshev的中文版證明：link

小龜 寫到:

我已經會證質數有無限多個了

 

但如何證明必有一個以上質數存在任何正整數N與2N之間?

 

甚至  如何證明兩個連續完全平方數之間必存在一個以上質數?

 

若你能證明第二個部份的話，你將會在數學史上留下英名....
這題目的另一表述法是：n 與 n+O(n^1/2) 之間有一個質數；[這還O(n^1/2)代表2n^1/2+1]
而近年最接近的證明是：n 與 n+O(n^6/11) 之間有一個質數；
還欠一點~~...
補上1999年一個相關近似的proof：pdf link

第一次來不會用符號= ="

不知道這樣證明可以嗎?

質數＝2,3,6n±1(n>=1)

N<=6n±1,2,3<2N>3
所以2N與N之間必定可以放入一個以上的6的倍數
故N<=6n±1<=2N成立

不會用= =

發表在我部落格

http://tw.myblog.yahoo.com/bbadia-littlefeet/article?mid=814&prev=-1&next=-1

第2部份？？是指勒讓德猜想？ n^2和(n+1)^2之間至少有一個質數?

網路上對這個猜想的評價非常低,甚至認為它沒有多大的意義

這個會很難嗎？我花幾分鐘想到下面的方法:
模糊數學論證就得用已經獲得證明的模糊數學來證明

世界著名的質數定理:兀(x)/x=1/ln(x),已經由許多人提出證明

套用質數定理:
n^2以內的質數個數為
兀(n^2)/n^2=1/ln(n^2)
兀(n^2)=n^2/ln(n^2)

(n+1)^2以內的質數個數為
兀[(n+1)^2]/(n+1)^2=1/ln[(n+1)^2]
兀[(n+1)^2]=[(n+1)^2]/ln[(n+1)^2]

則自然數n^2到(n+1)^2之間的質數個數為
兀[(n+1)^2]-兀(n^2)
=[(n+1)^2]/ln[(n+1)^2]-n^2/ln(n^2)
=[(n+1)^2]/2ln(n+1)-n^2/2ln(n)
=[(n+1)/2][(n+1)/ln(n+1)]-(n/2)[n/ln(n)]
=[(n+1)/2][(n+1)/ln(n+1)]-[(n+1)/2][n/ln(n)]+
(1/2)[n/ln(n)]

用兀(n+1)=(n+1)/ln(n+1)和兀(n)=n/ln(n)取代上式

=[(n+1)/2][兀(n+1)]-[(n+1)/2][兀(n)]+(1/2)[兀(n)]
=[(n+1)/2][兀(n+1)-兀(n)]+(1/2)[兀(n)]

觀察兀(n+1)-兀(n)可發現相鄰的兩個自然數的質數個數的差,不是0就是1

假若兀(n+1)-兀(n)=0
兀[(n+1)^2]-兀(n^2)=(1/2)[兀(n)]
n=1,兀(1)=0,兀[(n+1)^2]-兀(n^2)=0
n=2時,兀(n+1)-兀(n)=兀(3)-兀(2)=2-1=1,故n=2不適用兀(n+1)-兀(n)=0
n=3,兀(3)=2,兀[4^2]-兀(3^2)=(1/2)(2)=1,符合至少存在1個質數
n=4的情況已經不用列舉,因為兀(n)會隨n增大

假若兀(n+1)-兀(n)=1
兀[(n+1)^2]-兀(n^2)=[n+1+兀(n)]/2
n=1,兀(1)=0,但上式結果[n+1+兀(n)]/2=[1+1+0]/2=1,符合至少存在1個質數
n=2的情況已經不用列舉,因為兀(n)會隨n增大

故以上兩個結果都證明n^2到(n+1)^2之間必定有一個質數

若此證明錯誤,驗證許多數學家對質數定理提出的證明是錯的,或者根本可以說質數定理是錯的

嗯 剛沒看仔細,第二部份指的是n到2n之間必存在1個以上的質數,它的確是一個難題