[動腦]兩題數學題

[動腦]兩題數學題

喵夢.. 於 星期五 七月 04, 2008 9:01 am


1.設k=2008^2+2^2008,請問k^2+2^k的個位數為何?

2.求最小自然數n使的乘積999999乘n全是1,即999999乘n=111......11

數學很差希望大家能幫我

喵夢..
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Re: [動腦]兩題數學題

colanpa 於 星期六 七月 05, 2008 8:53 pm


喵夢.. 寫到:1.設k=2008^2+2^2008,請問k^2+2^k的個位數為何?

2.求最小自然數n使的乘積999999乘n全是1,即999999乘n=111......11

數學很差希望大家能幫我



1.

題目只問個位數,首先你要知道,"在某數乘以某數之後的個位數字只與原來的兩個數的個位數字有關而已",例如31321*545445的個位數是多少?

很容易吧,就是1*5=5對吧,只與原來的個位數字1與原來的個位數字5有關。了解這件事情之後,如果問你k的個位數字是多少你會嗎?

題目說k=20082+22008,就我剛剛講的那個道理,20082的個位數字就是8*8的個位數字,也就是64的"4",另外一部份22008的個位數字呢?

21的個位數字是2
22的個位數字是4
23的個位數字是8
24的個位數字是6
25的個位數字是2  <<< 到5次方之後開始出現重複,會影響個位數字的只有個位數字吧,所以,一但出現重複,之後的情形一定是一直循環下去,

就這題而言,循環的方式是2、4、8、6這樣每4個循環一次,回到原題目,題目問22008的個位數字是?,已知對2的某次方而言,是每4個循環一次,

2008除以4整除,表示22008的個位數字會等於24,也就是"6",綜合起來就知道k的個位數字是4+6="0"

接著,題目問k2+2k的個位數字是多少?目前已經知道了k的個位數字是"0"了,相同的道理再運算一次,k2的個位數字是0*0="0",

2k的個位數字是? 題目說k=20082+22008=(4*502)2+41004=4*(4*5022)+4*(41003)=4*(4*5022+41003)=4n,n為整數

所以k是4的倍數,在考慮2k的個位數字時必須要把k除以4判斷個位數字是與21、22、23、24的哪一個相同,因為k是4的倍數,所以k的個位數字

與24相同,也就是"6",綜合起來得到k2+2k的個位數字是0+6="6"。
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Re: [動腦]兩題數學題

colanpa 於 星期六 七月 05, 2008 9:36 pm


喵夢.. 寫到:1.設k=2008^2+2^2008,請問k^2+2^k的個位數為何?

2.求最小自然數n使的乘積999999乘n全是1,即999999乘n=111......11

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2.

也是從個位數字開始,因為乘出來的個位數字要是1,已知原來的個位數字是9,所以n的個位數字必為"9",因為9只有乘以9才會產生1。

那十位數字呢?

先把剛剛算出來的個位數字"9"乘上999999,得到8999991,n的十位數字乘以999999的個位數字9之後必須要產生"2"才能因2+9=11而產生1,

所以十位數字必為"8",因為9只有乘以8才會產生2讓2+9=1。

接著百位數字呢?

再把剛剛算出來的十位與百位數字"89"乘上999999,得到88999911,n的百位數字乘以999999的個位數字9之後必須要產生"2"才能因2+9=11而產生1,

所以百位數字必為"8",因為9只有乘以8才會產生2讓2+9=1。

接著千位數字呢?

再把剛剛算出來的百位、十位與個位數字"889"乘上999999,得到888999111,可以觀察到又是9,所以千位數字也必須是"8"。

再把剛剛算出來的千百十個位數字"8889"乘上999999,得到8888991111,又是9,所以萬位數字也必須是"8",

算到這,可以觀察出規律了,每往前推移一個位數,乘出來的數字就會在後面多出一個1,而且前面保持著6個不是1的數字,觀察這一串的數字,

8999991
88999911
888999111
8888991111

不難推斷接下來一定會變
...

888888111111 ,到此為止都必須是配8給9,9*8=72,使得2+9=11,產生"1",到此時已經推論到十萬位了,是"888889"

接著必須讓8變成1,那就是3了,9要乘以多少會有3?,7吧,所以接下來的百萬位就是7,而且"7888889"乘以999999=7888881111111,

不難推斷出接下來的發展

會變成

7888881111111
77888811111111
777888111111111
7777881111111111
77777811111111111
777777111111111111,到此為止都必須是配7給9,9*7=63,使得3+8=11,產生"1",到此時已經推論到千億位了,是"777777888889"

接著要讓7變成1,那就是4了,9要乘以多少會有4?,6吧,所以接下來的兆位就是6,接下來變677777111111111111。

觀察出除了一串1的左邊除了數字固定6個之外,會慢慢的由9變成8變成7這樣一直下去,那就可以直接寫答案了。

n=111111222222333333444444555555666666777777888889,共48位數

乘以999999之後是111111111111111111111111111111111111111111111111111111,共54個1。
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Re: [動腦]兩題數學題

colanpa 於 星期一 七月 07, 2008 4:07 am


喵夢.. 寫到:1.設k=2008^2+2^2008,請問k^2+2^k的個位數為何?

2.求最小自然數n使的乘積999999乘n全是1,即999999乘n=111......11

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2.

想到更漂亮的想法:

首先,

n=(111...11)/999999,求n的最小值,mean 至少要有幾個1

先把999999質因數分解,得到999999=33*11*7*13*37

n要是自然數的條件就是111...11要被999999整除,也就是要有33、11、7、13、37這些因數

好,接著

其中有規律的就是33和11

111...11要被33整除的條件就是所有數字的和要是27的倍數,mean 111...11可能是(27個1)、(54個1)、...

111...11要被11整除的條件就是偶數與奇數項的和的差要是11的倍數,因為只有1這個數字,所以一定要是偶數個數字才合 mean 111...11可能是(2個1)、

(4個1)、...

7、13與37是111111的因數,所以要能被這三個數整除的條件就是要有6k個1,mean 111...11可能是(6個1)、(12個1)、...

好,綜合以上三個條件的取交集最小值的話

答案就是要有54個1

所以,

n=(54個1)/999999

  =111111222222333333444444555555666666777777888889
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