[問題]2003小學數學競賽選拔決賽題目(4、8、11)求解

[問題]2003小學數學競賽選拔決賽題目(4、8、11)求解

thuy 於 星期日 四月 13, 2008 9:07 pm


老師出了這份試卷中有幾題不會解,請大家幫忙!謝謝
請問以下題目要怎麼解?
4.
3的2003次方+2003除以7所得的餘數是多少?


8.這題題目無法完全呈現(請高手看線上題庫)謝謝
不會二十進位

11. 有一位菜販很不老實,他有一架動過手腳的天平。這架天平的兩臂不等長,當他向農民們購買產品時,就把產品放在天平臂長較短這一側,這樣秤起來較輕,他可以付少一些錢;當他銷售貨物時,就把貨物放在天平臂長較長的一側,這樣秤起來較重,他可以收入較多的錢。用上述手法,有一次他向農民購買6袋蕃茄1袋花生,秤出總重量為<xml><st1>25公斤</st1>,而他到市場販賣時,6袋蕃茄秤出的總重量為<st1>24公斤</st1>,1袋花生秤出的總重量為<st1>12公斤</st1>。請問1袋花生真實的重量為多少公斤?

thuy
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Re: [問題]2003小學數學競賽選拔決賽題目(4、8、11)求解

colanpa 於 星期日 四月 13, 2008 9:28 pm


thuy 寫到:
11. 有一位菜販很不老實,他有一架動過手腳的天平。這架天平的兩臂不等長,當他向農民們購買產品時,就把產品放在天平臂長較短這一側,這樣秤起來較輕,他可以付少一些錢;當他銷售貨物時,就把貨物放在天平臂長較長的一側,這樣秤起來較重,他可以收入較多的錢。用上述手法,有一次他向農民購買6袋蕃茄1袋花生,秤出總重量為<xml><st1>25公斤</st1>,而他到市場販賣時,6袋蕃茄秤出的總重量為<st1>24公斤</st1>,1袋花生秤出的總重量為<st1>12公斤</st1>。請問1袋花生真實的重量為多少公斤?







天秤秤東西的原理是利用桿子平衡時會有力矩和=0的特性

τ(力矩)就是F(垂直桿子的方向的力)乘以 L(施力點到支點的距離) , τ=FL
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

其中要注意τ力矩有順時針與逆時針兩種 , 順跟逆可分別定義為正(+)跟負(-) , 方向相反會被抵消

為了方便解說以下的順時針力矩假定為正力矩

天秤這種翹翹板結構就是左邊放一個東西 , 右邊也放一個東西 , 中間是支點 , 兩邊同時受到地球重力引響而有股向下的力

桿子是剛性物也就是很硬不會彎


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

1.當左邊距離支點L1的地方放了質量M的東西 , 受重力影響有股向下的力 F1=Mg , 產生的力矩τ1=F1L1=MgL1(這裡是逆時針的力矩)(-)

2.右邊距離支點L2的地方放了質量m的東西 , 受重力影響有股向下的力 F2=mg , 產生的力矩τ2=F2L2=mgL2(這裡是順時針的力矩)(+)

力矩是可以加減的

對此時左右各放了M與m的天秤系統來說

他的力矩和=τ12= - MgL1 + mgL2 = g*(mL2 - ML1)

如果此時剛好天秤的桿子是水平靜止不動的

那就代表這系統的力矩和=0

也就是 g*(mL2 - ML1)=0

等號兩邊都除以重力加速 g , 整理一下

mL2=ML1

(M/m) = (L2/L1)

我再用中文翻譯一下這句數學式子的物理意義

(左邊的質量)比上(右邊的質量) 等於 (右邊的長度)比上(左邊的長度)

質量與長度是反比關係


正常的天秤支點在桿子正中央 , 物品到支點的距離=砝碼到支點的距離 , 也就是 L1=L2

也就是(L2/L1)=1

這代表在式子(M/m) = (L2/L1)中 , 左右都等於1

(M/m)=1

M=m

這就是天秤配上標準重量的砝碼測量未知重量的物品的原理

將想要測量的未知重量物品放在左邊 (就是M)

將已知重量的砝碼放在右邊 (就是m)

持續的更換砝碼直到你觀察到天秤達到水平靜止不動時

表示M=m

就測量出M的重量了


今天這題L1與L2不相同怎辦

同樣把平衡時力矩和會等於零的式子寫出來就很清楚了

同樣會符合這個式子:

(M/m) = (L2/L1)

(左邊的質量)比上(右邊的質量) 等於 (右邊的長度)比上(左邊的長度)

不管他L1跟L2是多少

題中農夫從頭到尾都是拿同樣的一個天秤測量東西吧

這表示L2與L1其實是定值

(L2/L1)這個數值其實是固定不變的

(M/m) = (L2/L1) = 定值 = 固定不變

(M1/m1) = (M2/m2) = (M3/m3) = ...

中文翻譯就是

(第一次左邊重量比上右邊重量) = (第二次左邊重量比上右邊重量) = (第三次左邊重量比上右邊重量) = ...

所以就是這樣啦↓

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


設花生重x , 6袋番茄重y

(x+y)/25=24/y=12/x

所以x:y=1:2

令y=2x

(x+2x)/25=12/x

x=10
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Re: [問題]2003小學數學競賽選拔決賽題目(4、8、11)求解

colanpa 於 星期日 四月 13, 2008 9:41 pm


thuy 寫到:老師出了這份試卷中有幾題不會解,請大家幫忙!謝謝
請問以下題目要怎麼解?
4.
3的2003次方+2003除以7所得的餘數是多少?





31除以7 , 餘數=3
32除以7 , 餘數=2
33除以7 , 餘數=6
34除以7 , 餘數=4
35除以7 , 餘數=5
36除以7 , 餘數=1
37除以7 , 餘數=3
38除以7 , 餘數=2
.
.
.
32003除以7 , 餘數=?

觀察可知每6次會循環一次

2003除以6 , 餘數=5 , 所以對應到上面算的每六個為一循環中的第五種

也就是餘數=5

然後另外一部份2003除以7 , 餘數=1


32003+2003=(7m+5)+(7n+1)=7(m+n)+6

所以32003+2003除以7會餘6
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Re: [問題]2003小學數學競賽選拔決賽題目(4、8、11)求解

colanpa 於 星期三 四月 16, 2008 12:29 am


thuy 寫到:

8.這題題目無法完全呈現(請高手看線上題庫)謝謝
不會二十進位




左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

因為題目說是20進位

看729那個

圖的最下面是9 , 單位是1 , 所以換算成10進位還是9

中間是16 , 單位是20 , 換算成10進位就是16*20=320

最上面是1 , 單位是202 , 換算成10進位就是1*202=400

果然9+320+400=729


確認規則之後看他問的圖:

最下面是17 , 單位是1

再來是4 , 單位是20 , 換算成10進位就是4*20=80

再來是10 , 單位是202 , 換算成10進位就是10*202=4000

再來是8 , 單位是203 , 換算成10進位就是8*203=64000

代表的數字就是 17+80+4000+64000=68097
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