[數學]代數題

[數學]代數題

skywalker 於 星期五 十二月 07, 2007 8:35 pm


一多項式f(x)=x^3+ax^2+bx+c,其中b<0且ab=9c。
試證,多項式f有三實根




想問問看這題除了使用三次方判別式還有沒有其他辦法0.0
目前是一位剛考完學測高三生,對數學和小動物最感興
趣,還請各位多多指教!!
生命少不了貪戀,貪戀才是人生

skywalker
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colanpa 於 星期三 四月 09, 2008 8:55 pm


f(x)=x3+ax2+bx+c,其中b小於0且ab=9c

首先 , x3前面是正的表示其函數圖形可能是下列兩種其中之一



左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

不是有三個實根就是一實根兩虛根

f'(x)=3x2+2ax+b=0

x=[-a+√(a2-3b)]/3 或[-a-√(a2-3b)]/3 , 由於b小於0 , √(a2-3b)為實數

圖形有兩個極值

我們關心的是右邊的 , 也就是當 x=[-a+√(a2-3b)]/3時 , 若f(x)為正則為一實二虛 , 若f(x)為負則為三實根


將x=[-a+√(a2-3b)]/3代入f(x)=x3+ax2+bx+c

巴拉巴拉整理一下最後剩下:

f(x)=(2/27)(a2-3b)[a-√(a2-3b)]

(a2-3b)大於0 , 且(a2-3b)大於a2 , 所以√(a2-3b)大於a , 所以a-√(a2-3b)小於0

也就是f(x)小於0

所以f(x)函數圖形與x軸有三個交點 , 也就是有三個實根
24歲不吸菸 沒錢沒馬子

colanpa
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