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1.一座棒球廠有七座燈a,b,c,d,e,f,g,各裝設開關,剛開始時b,d,f,亮著
某日有小朋友調皮從a到g的順序撥動開關,再從a到g的順序撥動開關,
一共撥動2000次開關(a到g算7次).請問:此時哪幾座燈是亮著?


2.一正整數a,滿足(a,72)=1,a在1到200之間,求所有a的個數及其和?


3.一數列1234567891011121314151617181920................
請問由左起第1000個數字是多少


4.某本書從第一頁標號1開始到最後一頁共用了357個數字,問這本書有多少頁?


5.

吳昌鴻 寫到:1.一座棒球廠有七座燈a,b,c,d,e,f,g,各裝設開關,剛開始時b,d,f,亮著
某日有小朋友調皮從a到g的順序撥動開關,再從a到g的順序撥動開關,
一共撥動2000次開關(a到g算7次).請問:此時哪幾座燈是亮著?

2002是14的倍數 => 少了兩次 => f,g關關了一次 => b,d,g亮著

吳昌鴻 寫到:2.一正整數a,滿足(a,72)=1,a在1到200之間,求所有a的個數及其和?

a,72 => 互質, 72=2³x3², 故所有非2,3的質數及其合成數:
質數:
    2-100: 5,7,11,13,..., 97 共25-2個
101-199: 101, 103,..., 199 共21個
共23+21 = 44個

合成數:  由於√200=14.xx ≥ 13 故合成數中必含 ≤ 13 的質因數 (5,7,11,13)
5: 200/5=40 ≥37, 5只能與5-37的質因數作合成數 - 5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 -10個
    又√40=6.xx < 7，故5並不能與(大於5的質因數的合成數)作合成數
    40/5=8 ≥ 7, 故5x5x5=125, 5x5x7=175 <200 - 2個
    √8<3> 沒有≥5質因數了~~
     -  共12個
7: 同樣地, 200/7=28.xx ≥ 23, 7能與7-23的質因數作合成數 - 7,11,13,17,19,23 - 6個
    又√28.xx=5.xx<7> 沒有≥7的質因數了~~
     -  共6個
11: 200/11 = 18.xx ≥ 17  =>  11 x (11,13,17) - 3個
13: 200/13 = 15.xx ≥ 13  =>  13 x 13 - 1個
共12+6+3+1 = 22個

總共44+22 = 66個

和：
質數: 2-99的質數和=1060, 100-199的質數和=3167 => 1060-5+3167 = 4222
合成數:
5: 5x(5+7+11+13+17+19+23+29+31+37) + 5x5x(5+7) = 5x192 + 25x12 = 960+300 = 1260
7: 7x(7+11+13+17+19+23) = 7x90 = 630
11: 11x(11+13+17) = 11x41 = 451
13: 13x13 = 169
共1260+630+451+169 = 2510
總和 = 4222+2510 = 6732

吳昌鴻 寫到:3.一數列1234567891011121314151617181920................
請問由左起第1000個數字是多少

1000/3 = 333...1
100個數字代表333個3位整數(0-332)+1個數字 + [(100+10+1)個0 = 111個0 =37]個3位整數
= (333+37=370)個整數(0-369)+1個數字 => 370的3

吳昌鴻 寫到:4.某本書從第一頁標號1開始到最後一頁共用了357個數字,問這本書有多少頁?

357/3 = 119
沿用第3題結果 => 多出的0能組成37個3位數 => 119+37-1 = 155頁

吳昌鴻 寫到:5.

甚麼來的？？？？

抱歉，我先在自己的電腦上打好文字，也不知道怎會顯現出行列全錯了，

而且是第2題，不是第1題。
200 ÷2＝100→（有100個2的倍數）

200 ÷3＝66…2→（有66個3個倍數）

200 ÷6＝33…2→（有33個6的倍數）
扣掉 2的倍數，3的倍數，再補上6的倍數，（100＋66–33＝133個）
就是 1-200之間，與 72不會互質的個數→有133個。

所以……，會與 72互質的數，有200–133＝ 67（個）


先看看個數相差之處在哪裡，再來討論總和的問題！

where 寫到:抱歉，我先在自己的電腦上打好文字，也不知道怎會顯現出行列全錯了，

而且是第2題，不是第1題。
200 ÷2＝100→（有100個2的倍數）

200 ÷3＝66…2→（有66個3個倍數）

200 ÷6＝33…2→（有33個6的倍數）
扣掉 2的倍數，3的倍數，再補上6的倍數，（100＋66–33＝133個）
就是 1-200之間，與 72不會互質的個數→有133個。

所以……，會與 72互質的數，有200–133＝ 67（個）


先看看個數相差之處在哪裡，再來討論總和的問題！

對對.... 數漏了1這個數... 而且加數錯了的地方已用紅色改了... 就是差1這個數而已...

你的方法好些，從質數入手比較麻煩...
(1至200) = 200x201/2 = 20100
2x(1至200/2) = 2x100x101/2 = 10100
3x(1至198/3) = 3x66x67/2 = 6633
6x(1至198/6) = 6x33x34/2 = 3366
20100-10100-6633+3366 = 6733


p.s. 還有，把第一篇回覆刪去吧... 按回覆右上角的 便行...

今天算題目，也常漏1加1的。

正確答案是6733。沒錯！

多謝教導刪掉文章的方法！！


另外，
3.一數列1234567891011121314151617181920................
請問由左起第1000個數字是多少 ？
我也是算出3的答案。

一位數：1∼9→共用了9個數字
二位數：10∼99→共用了2×（99-10＋1）＝2×90＝180
三位數：100∼199→用了3×100＝300
200∼299→用了3×100＝300

逐漸逼近法：9＋180＋300＋300＝789（個數字）

1000–789＝211（還要再211個數字）


211÷3＝70……1

再70個三位數之後的下一個數字！


300  301  302  303  ………

第70項為369！


123456789……【369】370


不同的思考方式，有同樣的答案。





另外G@ry大大的解法，終於看懂了啦∼


有筆誤哦∼

不是100個數字，是1000個數字

而且要用排列出來的方陣來看，就可以了解（啥米是多出來的0了）

排出來，便知曉！

000
001
002
003
……
332

所以在百位的那一欄，就有100個0（000∼099）。十位的那一欄有10個0（00∼09）。個位的那一欄就有1個0。總共有111個0。

111÷3＝37


所以在
332之後，還可以再加上37個三位數
333
……
369
370