[數學]餘數的機率

[數學]餘數的機率

QC 於 星期五 一月 04, 2008 11:26 pm


(1) 球號0,1,2,3之球個數相等(各5個)置於一箱,自其中任取3個球,
此3個球之球號總和除以4的餘數為0,1,2,3
試問這4種餘數的機率各是多少?

(2) 球號0,1,2,3之球個數相等(各5個)置於一箱,自其中任取8個球,
此8個球之球號總和除以4的餘數為0,1,2,3
試問這4種餘數的機率各是多少?
CCC

QC
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Re: [數學]餘數的機率

G@ry 於 星期五 一月 04, 2008 11:58 pm


QC 寫到:(1) 球號0,1,2,3之球個數相等(各5個)置於一箱,自其中任取3個球,
此3個球之球號總和除以4的餘數為0,1,2,3
試問這4種餘數的機率各是多少?

(2) 球號0,1,2,3之球個數相等(各5個)置於一箱,自其中任取8個球,
此8個球之球號總和除以4的餘數為0,1,2,3
試問這4種餘數的機率各是多少?


不用計算也知道是(1)是各1/4機率... 因為機會均等而且球數不會被用盡...
(2): 計算中...
☆子 是也

G@ry
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QC 於 星期六 一月 05, 2008 2:18 am


(0) 球號0,1,2,3之球個數相等(各5個)置於一箱,自其中任取2個球,
此2個球之球號總和除以4的餘數為0,1,2,3
試問這4種餘數的機率各是多少?
餘數0:
0+0:5/20*4/19=1/19
1+3:5/20*5/19*2=5/38
2+2:1/19
total: 9/38

餘數1:
0+1:5/20*5/19*2=5/38
2+3:5/20*5/19*2=5/38
total: 10/38

4種餘數的機率各是9/38 : 10/38 : 9/38 : 10/38
並非各1/4

那麼, Q(1) 你說都是 1/4, 道理何在?
CCC

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G@ry 於 星期六 一月 05, 2008 9:51 am


QC 寫到:(0) 球號0,1,2,3之球個數相等(各5個)置於一箱,自其中任取2個球,
此2個球之球號總和除以4的餘數為0,1,2,3
試問這4種餘數的機率各是多少?
餘數0:
0+0:5/20*4/19=1/19
1+3:5/20*5/19*2=5/38
2+2:1/19
total: 9/38

餘數1:
0+1:5/20*5/19*2=5/38
2+3:5/20*5/19*2=5/38
total: 10/38

4種餘數的機率各是9/38 : 10/38 : 9/38 : 10/38
並非各1/4

那麼, Q(1) 你說都是 1/4, 道理何在?

對對對... 小弟對情況估計錯誤~~
45/190, 50/190, 45/190, 50/190
但Q(1) 的答案的確是1/4,1/4,1/4,1/4

各點數組合:
點數為0,9: 5C3 = 10
點數為1,8: 5C2 x 5C1 = 50
點數為2,7: 5C2 x 5C1 x 2 = 100
點數為3,6: 5C3 + 5C2 x 5C1 + 5C1 x 5C1 x 5C1 = 10+50+125 = 185
點數為4,5: 5C2 x 5C1 x 2 + 5C1 x 5C1 x 5C1 = 100+125 = 225

餘數為0: 點數為0,4,8: 10+225+50 = 285
餘數為1: 點數為1,5,9: 285
餘數為2: 點數為2,6: 100+185 = 285
餘數為3: 點數為3,7: 285

各餘數可能性為 285/20C3 = 285/1140 = 1/4
☆子 是也

G@ry
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QC 於 星期六 一月 05, 2008 5:49 pm


(1) 當k是mod4 餘數1 or 3
球號0,1,2,3,4 ==> 球號用1,1+1,1+2,1+3代換
代換後p’((z+k)mod 4)=餘數(z+k)的機率=代換前p(z)
==> p((z+k)mod 4)=p’((z+k)mod 4)=p(z)
因k mod4 餘數1 or 3
==> p(0)=p(1)=p(2)=p(3)

(2) 當k是mod4 餘數2
球號0,1,2,3,4 ==> 球號用1,1+1,1+2,1+3代換
代換後p’((z+k)mod 4)=餘數(z+k)的機率=代換前p(z)
==> p((z+2)mod 4)=p’((z+k)mod 4)=p(z)
因k mod4 餘數2
==> p(0)=p(2), p(1)=p(3)

(3) 當k是mod4 餘數0
球號0,1,2,3,4 ==> 球號用0,-1,-2,-3代換
代換後p’((-z)mod 4)=餘數(-z)的機率=代換前p(z)
==> p((-z)mod 4)=p’((-z)mod 4)=p(z)

==> p(1)=p(3)
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QC 於 星期日 一月 06, 2008 12:22 pm


(2) 球號0,1,2,3之球個數相等(各5個)置於一箱,自其中任取8個球,
此8個球之球號總和除以4的餘數為0,1,2,3
試問這4種餘數的機率各是多少?

如何掌握任取k個球的變化??

算一個不如算一族
let F=(1+y)^5 * (1+xy)^5 *(1+xxy)^5 * (1+xxxy)^5
這是排列數的generating function
任取k個球,球號總和t 的組合數= x^t* y^k項係數

t=4m的排列數=N(總和餘數0)= [F(x=1)+F(x=i)+F(x=-1)+F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20+(1-yyyy)^5+(1-yy)^10+(1-yyyy)^5]/4
N(任取8個球,總和餘數0)= y^8項係數=[C(20,8)+C(5,2)+C(10,4)+C(5,2)]/4
p(任取8個球,總和餘數0)=[C(20,8)+C(5,2)+C(10,4)+C(5,2)]/4C(20,8)

t=4m+2的排列數=N(總和餘數2)=  [F(x=1)-F(x=i)+F(x=-1)-F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yyyy)^5+(1-yy)^10-(1-yyyy)^5]/4
N(任取8個球,總和餘數2)= y^8項係數=[C(20,8)-C(5,2)+C(10,4)-C(5,2)]/4
p(任取8個球,總和餘數2)=[C(20,8)-C(5,2)+C(10,4)-C(5,2)]/4C(20,8)

t=4m+1 (or 3)的排列數=N(總和餘數1)= [F(x=1)-iF(x=i)-F(x=-1)+iF(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yy)^10]/4
N(任取8個球,總和餘數1)=n(任取8個球,總和餘數3)= y^8項係數=[C(20,8)-C(10,4)]/4
p(任取8個球,總和餘數1)= [C(20,8)-C(10,4)]/4C(20,8)

---------
當任取k=2n+1 個球:
t=4m的排列數=N(總和餘數0)= [F(x=1)+F(x=i)+F(x=-1)+F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20+(1-yyyy)^5+(1-yy)^10+(1-yyyy)^5]/4
N(任取k個球,總和餘數0)= y^(2n+1)項係數=[C(20,k)+0+0+0]/4
p(任取k個球,總和餘數0)=1/4

t=4m+2的排列數=N(總和餘數2)=  [F(x=1)-F(x=i)+F(x=-1)-F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yyyy)^5+(1-yy)^10-(1-yyyy)^5]/4
N(任取k個球,總和餘數2)= y^(2n+1)項係數=[C(20,8)-0+0-0]/4
p(任取k個球,總和餘數2)=1/4

t=4m+1 (or 3)的排列數=N(總和餘數1)= [F(x=1)-iF(x=i)-F(x=-1)+iF(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yy)^10]/4
N(任取k個球,總和餘數1)=N(任取k個球,總和餘數3)= y^(2n+1)項係數=[C(20,k)-0]/4
p(任取8個球,總和餘數1)= 1/4

---------------
當任取k=8n 個球:
t=4m的排列數=N(總和餘數0)= [F(x=1)+F(x=i)+F(x=-1)+F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20+(1-yyyy)^5+(1-yy)^10+(1-yyyy)^5]/4
N(任取8n個球,總和餘數0)= y^8n項係數=[C(20,8n)+C(5,2n)+C(10,4n)+C(5,2n)]/4
p(任取8n個球,總和餘數0)=[C(20,8n)+C(5,2n)+C(10,4n)+C(5,2n)]/4C(20,8n)

t=4m+2的排列數=N(總和餘數2)=  [F(x=1)-F(x=i)+F(x=-1)-F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yyyy)^5+(1-yy)^10-(1-yyyy)^5]/4
N(任取8n個球,總和餘數2)= y^8項係數=[C(20,8n)-C(5,2n)+C(10,4n)-C(5,2n)]/4
p(任取8n個球,總和餘數2)=[C(20,8n)-C(5,2n)+C(10,4n)-C(5,2n)]/4C(20,8n)

t=4m+1 (or 3)的排列數=N(總和餘數1)= [F(x=1)-iF(x=i)-F(x=-1)+iF(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yy)^10]/4
N(任取8n個球,總和餘數1)=n(任取8n個球,總和餘數3)= y^8n項係數=[C(20,8n)-C(10,4n)]/4
p(任取8n個球,總和餘數1)= [C(20,8n)-C(10,4n)]/4C(20,8n)
------------
當任取k=8n-4 個球:
t=4m的排列數=N(總和餘數0)= [F(x=1)+F(x=i)+F(x=-1)+F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20+(1-yyyy)^5+(1-yy)^10+(1-yyyy)^5]/4
N(任取k個球,總和餘數0)= y^k項係數=[C(20,k)-C(5,k/4)+C(10,k/2)-C(5,k/4)]/4
p(任取k個球,總和餘數0)=[C(20,k)-C(5,k/4)+C(10,k/2)-C(5,k/4)]/4C(20,k)

t=4m+2的排列數=N(總和餘數2)=  [F(x=1)-F(x=i)+F(x=-1)-F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yyyy)^5+(1-yy)^10-(1-yyyy)^5]/4
N(任取k個球,總和餘數2)= y^k項係數=[C(20,k)+C(5,k/4)+C(10,k/2)+C(5,k/4)]/4
p(任取k個球,總和餘數2)=[C(20,k)+C(5,k/4)+C(10,k/2)+C(5,k/4)]/4C(20,k)

t=4m+1 (or 3)的排列數=N(總和餘數1)= [F(x=1)-iF(x=i)-F(x=-1)+iF(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yy)^10]/4
N(任取k個球,總和餘數1)=n(任取k個球,總和餘數3)= y^k項係數=[C(20,k)-C(10,k/2)]/4
p(任取k個球,總和餘數1)= [C(20,k)-C(10,k/2)]/4C(20,k)

------------
當任取k=4n-2 個球:
t=4m的排列數=N(總和餘數0)= [F(x=1)+F(x=i)+F(x=-1)+F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20+(1-yyyy)^5+(1-yy)^10+(1-yyyy)^5]/4
N(任取k個球,總和餘數0)= y^k項係數=[C(20,k)-C(10,k/2)]/4
p(任取k個球,總和餘數0)=[C(20,k)-C(10,k/2)]/4C(20,k)

t=4m+2的排列數=N(總和餘數2)=  [F(x=1)-F(x=i)+F(x=-1)-F(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yyyy)^5+(1-yy)^10-(1-yyyy)^5]/4
N(任取k個球,總和餘數2)= y^k項係數=[C(20,k)-C(10,k/2)]/4
p(任取k個球,總和餘數2)=[C(20,k)-C(10,k/2)]/4C(20,k)

t=4m+1 (or 3)的排列數=N(總和餘數1)= [F(x=1)-iF(x=i)-F(x=-1)+iF(x=-i)]/4
=[(1+y)^20-(1-yy)^10]/4
N(任取k個球,總和餘數1)=n(任取k個球,總和餘數3)= y^k項係數=[C(20,k)+C(10,k/2)]/4
p(任取k個球,總和餘數1)= [C(20,k)+C(10,k/2)]/4C(20,k)
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機率及排列組合數學