[數學]猴子趣題

[數學]猴子趣題

J+W 於 星期四 八月 18, 2005 11:33 am


(1)小猴子搬香蕉問題(微軟面試題)

一個小猴子邊上有100根香蕉,它要走過50米才能到家,每次它最多搬50根香蕉,(多了就被壓死了),它每走1米就要吃掉一根,請問它最多能把多少根香蕉搬到家堙C

提示:他可以把香蕉放下往返的走,但是必須保證它每走一米都能有香蕉吃。也可以走到n米時,放下一些香蕉,拿著n根香蕉走回去重新搬50根。

(2)分花生給猴子

1962年北京市中學生數學競賽高中二年級第二試有這樣一個有趣的題:
把1600顆花生分給100只猴子。求證:無論怎麽分都會有四隻猴子分得的花生一樣多。

(3)分花生給猴子二(1985年武漢市初一數學競賽題)

把若干顆花生分給若干隻猴子,如果每只猴子分3顆,就剩下8顆;如果每只猴子分5顆,那麽最後一隻猴子得不到5顆,求猴子的只數和花生的顆數.

(4)猴子分桃子一(小學四年級題)

兩隻食量相同的猴子搶一堆桃子吃,吃完後,一隻猴子還差1個桃子吃飽,另一隻還差5個吃飽。如果這堆桃子都給一隻猴子吃,它仍不會吃飽,那麽一隻猴子一共需要幾個桃子才能吃飽?


(5)猴子分桃子二(張景中教授"幫你學數學"裡的一道題)

這埵酗@大堆桃子。這是5只猴子的公共財産。它們要平均分配。
第一隻猴子來了。它左等右等,別的猴子都不來,便動手把桃子均分成5堆,還剩了1個。它覺得自己辛苦了,當之無愧地把這1個無法分配的桃子吃掉,又拿走了5堆中的1堆。
第二隻猴子來了。它不知道剛才發生的情況,又把桃子均分成5堆,還是多了1個。
它吃了這1個,拿1堆走了。以後,每只猴子來了,都是如此辦理。
請問:原來至少有多少桃子?最後至少剩多少桃子?

據說,這個問題是由大物理學家狄拉克提出來的。1979年春天,著名美籍物理學家李政道,在和中國科學技術大學少年班同學座談時,也向他們提出過這個題目。當時,誰也沒有能夠當場做出回答,可見這個題目有點難。
知難而進。你能解這個題目嗎?

摘自“院士數學講座專輯”《幫你學數學》(張景中著)

(6) 猴子摘水蜜桃 (1998小學數學奧林匹克試題)

大小猴子共35只,它們一起去採摘水蜜桃。猴王不在的時候,一隻大猴子一小時可采15千克,一隻小猴子一小時可採摘11千克。猴王在場監督的時候,每只猴子不論大小每小時都可多採摘12千克。有一天,採摘了8小時,其中只有第一小時和最後一小時有猴王在場監督,結果共採摘了4400千克水蜜桃。在這個猴群中,共有小猴子____只。

(7) 猴子摘水蜜桃二 (1998小學數學奧林匹克試題)

一群猴子採摘水蜜桃。猴王不在的時候,一個大猴子一小時可採摘15千克,一個小猴子一小時可採摘11千克;猴王在場監督時,大猴子的1/5和小猴子的1/5必須停止採摘,去侍侯猴王。有一天,採摘了8小時,其中只有第一小時和最後一小時有猴王在場監督,結果共採摘3382千克水蜜桃。在這個猴群中,共有大猴子多少只?

(8)猴子爬梯子

一隻猴子爬一個8級的梯子,每次可爬一級或上躍二級,最多上躍三級.
從地面上到最上一級,一共可以有_____________不同的爬躍方法.

J+W
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宇智波鼬 於 星期四 八月 18, 2005 12:24 pm


不知道這是不是最多的:

小猴子先將50根香蕉搬到距離家裡40米處,一路上吃了10根,再吃10根回到香蕉地.
如此以來,距離家裡40米處就剩30根. 然後將剩下的50根香蕉搬到距離家裡30米處,再吃10根到距離家裡40米處,如此以來距離家裡30米處就剩20根. 搬動距離家裡40米處的那30根香蕉,經過10米吃了10根到距離家裡30米處,在班那堛20跟香蕉.在走30米吃了30根. 最後回到家只剩10根香蕉了[好像太少了~].
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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lcflcflcf 於 星期四 八月 18, 2005 1:29 pm


50/3
如要整數,答案就是16
人人為我 我為人人
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宇智波鼬 於 星期四 八月 18, 2005 2:51 pm


沒錯,應該是16根才對[之前誤以為必須走到10的倍數的距離才行]
方法如下:
小猴子搬50根香蕉到17米處,再回到原點,那堨u剩50-17*2=16.
然後再搬剩下的50跟也到17米處,剩下50-17=33根. 16+33=49小於50.
所以再搬49根香蕉回去,要走33米,所以最後剩下49-33=16根.

p.s香蕉應該是要取整數吧! 否則拿一根還沒吃完的香蕉回去可是會爛掉的[笑]~
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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J+W 於 星期四 八月 18, 2005 3:43 pm


這是我的方法,17根
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

每走一公尺必須消耗3根,吃1根,留2根
第一桶50根香蕉所能推進的最遠距離(50根吃完)
50/3=16又2/3
剩下距離
50-16又2/3=33又1/3
剩下的香蕉50-33=17

最後1/3公尺,不足一公尺,所以不用吃
_______________________________________________________________________
由於題目有負重50根的限制
所以必須把第一桶50根消耗掉
同時必須推進到最遠
50/3=16又2/3
這似乎是所以推進的最遠距離
因為我們認定一次必須消耗3根(去,回,去)

假設可以先吃再走,是可以再多走1公尺
也就是不要讓1米消耗到3根即可
有沒有可能比17公尺更多呢?
其實還是有的,只要先吃再走這點成立
是可以剩下18根的,只要用點小技巧

不過上面那點倒是有點爭議的
走1米消耗1根,這部份的看法會影響到答案
因為我是利用先吃再走,才可以再多走到17公尺
假設題目是限制必須走完再吃,那我這方法就不行了

不過由於題目沒有明確規定,所以我是認定只要在1米的範圍內吃掉即可

J+W
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lcflcflcf 於 星期五 八月 19, 2005 11:54 am


(2)分花生給猴子
用抽屜原理
先分34個抽屜,當中33個各有3隻猴子,剩下一隻放到另一抽屜
每個抽屜代表不同的數目,這數目表示每抽屜中的猴子各有數目的花生
即所有猴子共有(1*33)*33/2*3=1683
卻超過1600顆
所以要將較的數目的抽屜中的猴子放到較少數目的抽屜
即至少有四隻猴子在同一抽屜,
也表示怎樣都有四隻猴子分得的花生一樣多

(3)分花生給猴子二
設猴子數目為x,花生則有3x+8
5x-y=3x+8(當中5>y>0)
2x=y+8,所以y=4or2
if y=2,then x=5
if y=4,then x=6
所以猴子有5隻花生23顆或
猴子6隻花生26顆

(4)猴子分桃子一
設猴子食量為x隻桃
(x-1)+(x-5)<x
2x-6<x
x<6
所以猴子一共需要6個桃子才能吃飽

(5)猴子分桃子二
設原來有桃y顆
最後剩下(((((y-1)/5-1)/5-1)/5-1)/5-1)/5=(y-781)/3125顆
而(y-781)/3125必為四的倍數
又3125|(y-781)
所以4*3125=(y-781)
y=13281
原來有桃13281顆,最後剩下4顆
(我想知可否最後的猴子分及吃桃前若只剩下一顆桃,而它又吃了最後一顆呢?)

(6) 猴子摘水蜜桃
設小猴有y隻,大猴有(35-y)隻
2[(35-y)(15+12)+y(11+12)]+6[(35-y)(15)+y(11)]=4400
2(945-4y)+6(525-4y)=4400
1890-8y+3150-24y=4400
5040-32y=4400
y=20
小猴有20隻

(7) 猴子摘水蜜桃二
設大猴y隻,小猴有x隻
6(15y+11x)+2(4/5)(15y+11x)=3382
38/5(15y+11x)=3382
15y+11x=445
x=(445-15y)/11
11|(89-3y)
y=4+11k
y=4,x=35或
y=15,x=20或
y=26,x=5
但5|x,5|y
所以大猴=15,小猴=20

(8)猴子爬梯子
一共有75種不同的方法
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宇智波鼬 於 星期五 八月 19, 2005 12:44 pm


第3題其實只要用"初一數學"即可:
設猴子有x隻,則花生數為3x+8.拿不到5顆意指只拿到0.1.2.3.4顆.
3x+8=5[x-1]+1    x=6
3x+8=5[x-1]+2    x=11/2  [x不為整數不和]
3x+8=5[x-1]+3    x=5
3x+8=5[x-1]+4    x=9/2    [x不為整數不和]
3x+8=5[x-1]        x=13/2  [x不為整數不和]

所以,猴子為6隻,花生26顆
或猴子5隻,花生23顆  

p.s這個答案應該沒有什麼問題吧.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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lcflcflcf 於 星期五 八月 19, 2005 1:08 pm


宇智波鼬 寫到:第3題其實只要用"初一數學"即可:
設猴子有x隻,則花生數為3x+8.拿不到5顆意指只拿到0.1.2.3.4顆.
3x+8=5[x-1]+1    x=6
3x+8=5[x-1]+2    x=11/2  [x不為整數不和]
3x+8=5[x-1]+3    x=5
3x+8=5[x-1]+4    x=9/2    [x不為整數不和]
3x+8=5[x-1]        x=13/2  [x不為整數不和]

所以,猴子為6隻,花生26顆
或猴子5隻,花生23顆  

p.s這個答案應該沒有什麼問題吧.


我最初說答案有些問題,
其實我之前想錯了些東西
其實真的是無問題

還有
第1題說每走一米吃一根香蕉
究竟是一隻走一邊吃(即走0.1米,就吃掉0.1根)
還是一定要走完一米才吃一根(即設走了x米,就吃[x]根)?
兩個情況分別有不同的答案...
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宇智波鼬 於 星期五 八月 19, 2005 2:36 pm


lcflcflcf 寫到:
(8)猴子爬梯子
一共有75種不同的方法


可不可以請問一下猴子爬梯子那題是怎麼算的呢?
我看過這類的題目只是不知道算法.   教一下吧!


J+W 寫到:太長了,我把不必要的刪掉了
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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lcflcflcf 於 星期五 八月 19, 2005 4:19 pm


宇智波鼬 寫到:
可不可以請問一下猴子爬梯子那題是怎麼算的呢?
我看過這類的題目只是不知道算法.   教一下吧!


我是把所有情況列出
有8級,每次可跳1,2,3級,
設跳一級n次標示為(1)*n,二級n次為(2)*n
跳8次一級有一種情況,標示為︰(1)*8=1...(只是標示)
所有情況
(1)*8=8!/8!=1
(1)*6+(2)*1=7!/6!1!=7
(1)*4+(2)*2=6!/4!2!=15
(1)*2+(2)*3=5!/2!3!=10
(2)*4=4!/4!=1
(1)*5+(3)*1=6!/5!1!=6
(1)*2+(3)*2=4!/2!2!=6
(1)*3+(2)*1+(3)*1=5!/3!1!1!=20
(1)*1+(2)*2+(3)*1=4!/1!2!1!=12
(2)*1+(3)*2=3!/2!1!=3
一共有81種

我也想知其他快方法
其中一類我最伯的題目就是這類
我只懂慢方法...

J+W 寫到:太長了,我把不必要的刪掉了
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J+W 於 星期五 八月 19, 2005 10:04 pm


宇智波鼬 寫到:
可不可以請問一下猴子爬梯子那題是怎麼算的呢?
我看過這類的題目只是不知道算法. 教一下吧!


F(1)=1
F(2)=2
F(3)=4
F(4)=1+2+4=7
F(5)=2+4+7=13
F(6)=4+7+13=24
F(7)=7+13+24=44
F(8)=13+24+44=81

爬樓梯的組合有費氏數列的關係
這是國小科展的研究結果
http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=13892&bname=ASP

M.N.M.有另一種算法,也可參考

http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=15228&bname=ASP

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J+W 於 星期日 四月 16, 2006 10:27 pm


新題目:
 
若有七棵樹排成一列,最左邊的樹空著,其他六棵樹上有六隻猴子,
各穿著1,2,3,4,5,6號的衣服,猴子們每一次可跳到相鄰的空樹上,或是
越過一棵樹跳到另一棵空樹上,這樣經過21次,六棵樹上猴子的號碼順序
剛好顛倒過來,變成了6,5,4,3,2,1,問猴子是怎麼跳的?
 

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p 於 星期一 四月 17, 2006 11:25 am


lcf寫到

(5)猴子分桃子二
設原來有桃y顆
最後剩下(((((y-1)/5-1)/5-1)/5-1)/5-1)/5=(y-781)/3125顆
而(y-781)/3125必為四的倍數
又3125|(y-781)
所以4*3125=(y-781)
y=13281
原來有桃13281顆,最後剩下4顆


原來有桃13281顆,
第一隻猴拿走2656顆, 吃掉1顆,
餘下2656*4顆(10624)
第二隻猴, 吃掉1顆, 10623無法分成5堆
------


最後剩下4顆, 表示第五隻猴拿走1顆, 吃掉1顆,
也就是說第四隻猴餘下6顆, 但這6顆無法構成4堆
-----

p
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p 於 星期一 四月 17, 2006 11:28 am


lcf寫到
(我想知可否最後的猴子分及吃桃前若只剩下一顆桃,而它又吃了最後一顆呢?)

第四隻猴餘下1顆給第五隻猴,
但這1顆無法構成4堆---

p
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p 於 星期一 四月 17, 2006 2:54 pm


(5)猴子分桃子二

經過很笨的方法算出,
原有桃3121
第一隻猴拿走624, 吃掉1, 留下2496;
第二隻猴拿走499, 吃掉1, 留下1996;
第三隻猴拿走399, 吃掉1, 留下1596;
第四隻猴拿走319, 吃掉1, 留下1276;
第五隻猴拿走255, 吃掉1, 留下1020

p
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G@ry 於 星期四 七月 19, 2007 4:55 am


p 寫到:(5)猴子分桃子二

經過很笨的方法算出,
原有桃3121
第一隻猴拿走624, 吃掉1, 留下2496;
第二隻猴拿走499, 吃掉1, 留下1996;
第三隻猴拿走399, 吃掉1, 留下1596;
第四隻猴拿走319, 吃掉1, 留下1276;
第五隻猴拿走255, 吃掉1, 留下1020

這答案是對 3121 = 55-4,但沒有證明其為最小數目,方法如下:
設第n隻猴子拿走的數量為 an
4a4 = 5a5+1  要令方程兩邊恆等且不失真, 則 a5=4i-1, a4=5i-1, i∈Z+
4a3 = 5a4+1 = 52i-4  =>    i=4j, a3=52j-1, j∈Z+ [註:由於是initial point, 故公式有所不同] 4a2 = 5a3+1 = 53j-4  =>   j=4k, a2=53k-1, k∈Z+
[註:即使猴子再多, 亦只是把這部份的通解重覆多次 (5xz-1, z∈Z+)而已... 但由於只是重覆多兩次,為免簡單問題複雜化,故不在此使用/證明其為重覆的通解公式]
4a1 = 5a2+1 = 54k-4  =>   k=4m, a1=54m-1, m∈Z+

原來桃子數目 = 5a1+1 = 55m-4,  m∈Z+, 由於m至少為1, 故桃子數目最少為55-4=3121
最後剩的桃子 = 4a5 = 42i-4 = 43j-4 = 44k-4 = 45m-4; m=1 => 4a5 = 45-4 = 1020
☆子 是也

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