[問題]幾何題59

[問題]幾何題59

tangpakchiu 於 星期四 七月 05, 2007 8:47 pm


image file name: 2k0a18da2902.gif
如圖,AB,CD為圓O的直徑,BP為圓O的切線且與CP相交於P,在P點引一條割線交圓O於M,N,AM交PC於F,AN交PC於E,求證OE=OF。請教思想方法~~

tangpakchiu
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宇智波鼬 於 星期日 七月 08, 2007 4:54 pm


Method1
延長AF交圓O於Y點,延長AE交圓O於X點.
根據Pascal定理變形,可得C,O,Y共線, D,O,X共線.
CY和DX為Diameter. 所以角XCD=角CDY=90度.
角CXD=角CYD,且XD=CY. 即三角形CXD和DYC全等.
=> CX=DY
易推得角AFB=角AEB.
AY為弦且XD為直徑,即弧AD=弧DY=弧CX=弧XB.
所以角AYD=角XCB=角XAB=角ABD
得: AEBF為平行四邊形.
=>AO=OB and OE=OF.
Q.E.D

Method2
作OH垂直CD於H,連H,A
過C作CL平行EF交AB於K,FD於L
O、H、A、P共圓,∴∠OAH=∠OPH,==>∠KCH=∠OPH
so,K、H、A、C共圓
∴∠KHC=∠KAC,又∠KAC=∠BDC,所以KH//BD
∵OH垂直CD,∴CH=HD
故CK=KL(KH//LD)
∴EO=OF(EF//CL)
Q.E.D
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期日 七月 08, 2007 5:34 pm


宇智波鼬 寫到:Method1
延長AF交圓O於Y點,延長AE交圓O於X點.
根據Pascal定理變形,可得C,O,Y共線, D,O,X共線.
CY和DX為Diameter. 所以角XCD=角CDY=90度.
角CXD=角CYD,且XD=CY. 即三角形CXD和DYC全等.
=> CX=DY
易推得角AFB=角AEB.
AY為弦且XD為直徑,即弧AD=弧DY=弧CX=弧XB.
所以角AYD=角XCB=角XAB=角ABD
得: AEBF為平行四邊形.
=>AO=OB and OE=OF.
Q.E.D

Method2
作OH垂直CD於H,連H,A
過C作CL平行EF交AB於K,FD於L
O、H、A、P共圓,∴∠OAH=∠OPH,==>∠KCH=∠OPH
so,K、H、A、C共圓
∴∠KHC=∠KAC,又∠KAC=∠BDC,所以KH//BD
∵OH垂直CD,∴CH=HD
故CK=KL(KH//LD)
∴EO=OF(EF//CL)
Q.E.D


紅色的地方看不太懂= ="

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