[推薦]孫子定理

[推薦]孫子定理

~領悟~ 於 星期四 七月 05, 2007 2:32 pm


孫子定理﹝Chinese Remainder Theorem﹞是指我國古代《孫子算經》中具有重要價值的下卷第26題:

        「今有物不知其數,三三數之剩二;五五數之剩三;七七數之剩二。問物幾何?答曰:二十三。」
  

        譯成現代語言就是,現有一堆東西不知多少,被3除餘2;被5除餘3;被7除餘2;問這些東西有多少?
  

        《孫子算經》中給出了此問題的解法。
  

        這個問題可以用整數論堛漲P餘式符號表示,即設N≡2(mod 3)≡3(mod 5)≡2(mod 7),求最小的數N,答案是23。
 

        此問題屬於不定方程,用一般代數方程組表示

x = 3a + 2
x = 5b + 2
x = 7c + 2
        x是所求的數,a、b、c分別表示x分別被3,5,7除所得的商。答案有無窮多組,要求是正整數解。23,128,233,……都是,23是最小的正整數解,其餘可表成23 + 105n (n=1,2,……),105是3,5,7的最小公倍數。﹝具體的解法如下:在5×7,3×7,3×5之倍數中,計算出分別用3,5,7去除,令餘數均為1的數值,得70,21,15。這樣2×70 + 3×21 + 2×15 = 233,便是其中一解,由於233比3×5×7 = 105為大,故將233逐一減去105後,得答案23,正是《孫子算經》中的解。關於以上的解法,明代程大位在《算法綜宗》﹝1593年﹞婼s了一首歌謠:「三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,七子團圓整半月,除百零五便得知。」當中正好交待出解題過程中的關鍵數據:70,21,15﹝半月﹞及105。﹞這就是後來馳名於世界的「大衍求一術」的起源,是《算經十書》甚至整個中國古代數學中最有獨創性的成就之一。
  

        《孫子》的「物不知數」題,在我國學術界引起了很大興趣,歷代都有人研究,名稱很多,如:宋代周密《志雅堂雜鈔》卷下的「鬼谷算」、「隔牆算」。宋代楊輝《續古摘奇算法》中的「秦王暗點兵」。明程大位《算法統宗》中的物不知總」、「韓信點兵」等。南宋秦九韶對它作了理論探討,並定名「大衍求一術」。
  

        1852年英國人偉烈亞力以《中國算術科學摘記》為題,介紹了「大衍求一術」。1856年比納次基譯成德文,1862年特開姆又譯成法文,1874-1876年德國馬提生﹝1830-1906﹞又先後向西方介紹了求一術,從而使中國獨特而古老的算法受到世人矚目,命之為中國剩餘定理。
  

        「大衍求一術」的原理實際上與德國數學家高斯﹝1777-1855﹞於1801年在《算術探究》發表的一次剩餘定理一致,而時間晚於孫子一千五、六百年,晚秦九韶﹝他系統研究了大衍求一術﹞也有五、六百年了,故一般稱此定理為「中國剩餘定理」或「孫子定理」。


 
 
抱歉發錯文章.........因發在數學故事,,,,
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