[數學]幾何題..(85)

[數學]幾何題..(85)

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期六 六月 16, 2007 10:52 pm


四邊形ABCD滿足
DA=DB=DC,且AD平行BC,CD中垂線交AB延長線於E且使得B在A和E中間
若∠BCE=2∠DEC
求∠BCE

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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宇智波鼬 於 星期日 六月 17, 2007 12:27 pm


三角形ADC是等腰,
作它的外接圓心E',將E'跟A連接.
在AE'上取一點B'使AD=DB'.
設∠DAC=∠DCA=m,且E'是外接圓圓心...
所以∠AED=∠CED=2m
因ADE,ABD是等腰三角形,因此它們相似.
假設AC和BD交於F
因為∠AFD=∠BFC,所以∠FBC+∠FCB=∠FAD+FDA=m+2m=3m
又,DB=DC,
∠FBC=∠DBC=∠DCB=∠DCF+FCB=m+∠FCB
=>∠FBC=2m, ∠FCB=m
因此AD和BC平行...
於是我們用同一法證明了E'=E.
因此∠BED=∠DEC, ∠BEC=∠BCE.
設∠BED=x, 則90-x/2+4x=180 =>x=180/7
∠BCE=360/7.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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ry 於 星期五 六月 22, 2007 7:50 am


您提到了:
∠FBC=m+∠FCB
=>∠FBC=2m, ∠FCB=m

但是 ∠FBC=2m+0.001, ∠FCB=m+0.001
不是也符合 ∠FBC=m+∠FCB 嗎?還是我看漏了其他條件?

ry
訪客
 

宇智波鼬 於 星期五 六月 22, 2007 8:54 am


∠FBC+∠FCB=∠FAD+FDA=m+2m=3m
∠FBC=m+∠FCB
兩個式子作聯立...
(抱歉,應該是在下沒講清楚)
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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ry 於 星期六 六月 23, 2007 3:16 am


多謝,多謝。在下也有一個證法,不用補助線,不用反證法,供您參考。

假設 DE 和 BC 交於 F。
BD/BF = AD/BF (已知 AD = BD)
= ED/EF (已知 AD // BF, 三角形ADE ~ 三角形BFE)
= EC/EF (E 為 CD 中垂線, ED = EC)
∠BFD = ∠EFC (對角相等)
三角形FBD ~ 三角形FEC (SSA 相似定理, 已知角為鈍角)
∠FBD = ∠FEC (對應角相等)
三角形CED ~ 三角形DCF (AAA 相似定理)
FC = DC (DE = CE)

然後可證
三角形DCF ~= 三角形ADB
三角形ADE ~= 三角形DCE
等等。。。

ry
訪客
 






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