[數學][數學]不定方程

[數學][數學]不定方程

skywalker 於 星期三 五月 02, 2007 9:06 pm


設p,q,r為質數,試求滿足條件p^3=p^2+q^2+r^2之所有可能值
目前是一位剛考完學測高三生,對數學和小動物最感興
趣,還請各位多多指教!!
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skywalker
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[問題]你的問題

tangpakchiu 於 星期四 五月 03, 2007 6:46 am


設p,q,r為質數,試求滿足條件p^3=p^2+q^2+r^2之所有可能值
 
Obviously,p is greater than or equal to q and r.
WLOG, letp>=q>=r
 
p^3=p^2+q^2+r^2=<3p^2
 
p=<3
 
therefore, there is only one solution,(3,3,3)

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Re: [問題]你的問題

G@ry 於 星期四 五月 03, 2007 8:32 am


tangpakchiu 寫到:
設p,q,r為質數,試求滿足條件p^3=p^2+q^2+r^2之所有可能值
 
Obviously,p is greater than or equal to q and r.
WLOG, letp>=q>=r
 
p^3=p^2+q^2+r^2=<3p^2
 
p=<3
 
therefore, there is only one solution,(3,3,3)

為何不可以 p<q 或 p<r ??
e.g. p=11, q=11 (只是舉正整數例子,並非質數例子)
p2(p-1)=q2+r2  =>  112(10)-112=r2  =>  1089=r2  =>  r=33
=> r > p !!!


該是 p is obviously less than or equal to q or r!!
if p > q and p>r,
  p3=p2+q2+r2<3p2 => p2(p-3)<0 => p<0 -- contradiction!!  =>  p>=q or p>=r !!!

雖然(3,3,3)是暫時找到的質數的唯一解...但未能證明其唯一性!...
☆子 是也

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skywalker 於 星期五 五月 04, 2007 7:46 pm


我也有相同的問題
 
為什麼能確定p為最大?
目前是一位剛考完學測高三生,對數學和小動物最感興
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galaxylee 於 星期六 五月 05, 2007 12:11 am


可至高師大數學系網站
找2006青少年數學國際城市邀請賽個人複賽試題(附解答)

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G@ry 於 星期日 五月 06, 2007 5:45 am


galaxylee 寫到:
可至高師大數學系網站
找2006青少年數學國際城市邀請賽個人複賽試題(附解答)

有沒有連結?
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[數學]2006年青少年國際數學城市邀請賽

飛向自由 於 星期日 五月 06, 2007 12:34 pm


REACHING FOR A LOVE THAT SEEMS SO FAR •

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G@ry 於 星期一 五月 07, 2007 1:20 am


galaxylee 寫到:
可至高師大數學系網站
找2006青少年數學國際城市邀請賽個人複賽試題(附解答)

為甚麼 若 q2+r2=0(mod p), if 非(p|q), 非(p|r) => p = 4k+1 ??
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G@ry 於 星期四 五月 17, 2007 6:59 pm


G@ry 寫到:
galaxylee 寫到:
可至高師大數學系網站
找2006青少年數學國際城市邀請賽個人複賽試題(附解答)

為甚麼 若 q2+r2=0(mod p), if 非(p|q), 非(p|r) => p = 4k+1 ??

看不明白...有高人可以解釋嗎?...
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期六 五月 19, 2007 6:14 pm


q,r為奇數
設q=2m+1,r=2n+1
q^2+r^2=4m^2+4n^2+4m+4n+2=2*(4k+1)
2*(4k+1)要為p的倍數
又p不為偶數
所以p為4k+1

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guest 於 星期六 五月 19, 2007 7:40 pm


☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:q,r為奇數
設q=2m+1,r=2n+1
q^2+r^2=4m^2+4n^2+4m+4n+2=2*(4k+1)
2*(4k+1)要為p的倍數
又p不為偶數
所以p為4k+1



2^2+11^2≡ 0 (mod5)
5≡ 1 (mod4)

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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期六 五月 19, 2007 7:59 pm


guest 寫到:
☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:q,r為奇數
設q=2m+1,r=2n+1
q^2+r^2=4m^2+4n^2+4m+4n+2=2*(4k+1)
2*(4k+1)要為p的倍數
又p不為偶數
所以p為4k+1



2^2+11^2≡ 0 (mod5)
5≡ 1 (mod4)


我的回答是依據網站內容前面的推論並加以補充
網站裡已說明了為何q,r不為2

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G@ry 於 星期三 五月 23, 2007 4:20 pm


☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:q,r為奇數
設q=2m+1,r=2n+1
q^2+r^2=4m^2+4n^2+4m+4n+2=2*(4k+1)
2*(4k+1)要為p的倍數
又p不為偶數
所以p為4k+1

謝謝!

小弟起初也是這樣理解,但後來一想想發覺有點問題:
e.g. k=2, 4k+1 = 9 = 3*3 但3不為4k+1型...
又 k=5, 4k+1 = 21 = 3*7 但3與7皆不為4k+1型...
所以應該不能由4k+1為p的倍數推論出p為4k+1型....
小弟就是到了這步未能理解...是不是小弟解錯了?...
☆子 是也

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G@ry 於 星期六 六月 02, 2007 3:48 am


求高人指教,解給小弟4k+1型!!!
☆子 是也

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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期六 六月 02, 2007 9:18 am


G@ry 寫到:求高人指教,解給小弟4k+1型!!!


http://www.chiuchang.org.tw/modules/mydownloads/viewcat.php?op=&cid=1
連結中
在討論CASE2之前
參考解答只是把p有可能的值列出來而已
網站中的CASE2最後得到的結論是p=4k+1沒有解
所以您的想法並沒錯
只有CASE1才有一組解p=q=r=3

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G@ry 於 星期六 六月 02, 2007 10:06 am


☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:
G@ry 寫到:求高人指教,解給小弟4k+1型!!!


http://www.chiuchang.org.tw/modules/mydownloads/viewcat.php?op=&cid=1
連結中
在討論CASE2之前
參考解答只是把p有可能的值列出來而已
網站中的CASE2最後得到的結論是p=4k+1沒有解
所以您的想法並沒錯
只有CASE1才有一組解p=q=r=3

但為何文中在分case之前有此結論:

利用同餘數(模p),∴q2+r2≡0 (mod p)。
∴ p|q, p|r  或  p 為4k +1 之型式。

為何要分出p為4k+1或p不為4k+1?
小弟理解case1只有一解而case2沒解,但為何沒有case3?為何不能p=4k+3?
即使 非(p|q) 或 非(p|q),小弟亦不能推論出p不能為非4k +1 之型式...
小弟上面亦舉了即使p為4k+3之型式...仍能得出4k+1的倍數...
☆子 是也

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