[數學]頗難的不等式

[數學]頗難的不等式

宇智波鼬 於 星期日 四月 29, 2007 8:12 pm




試證:
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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Re: [數學]頗難的不等式

G@ry 於 星期六 五月 26, 2007 1:31 pm


宇智波鼬 寫到:

試證:

1/2 = (x+y+z)/3 ≥ 3√xyz   eqv. at x=y=z=1/2 | AM ≥ GM
=>   3√[1/(xyz)] ≥ 2   eqv. at x=y=z=1/2
=>  (1/x+1/y+1/z)/3 ≥ 3√[1/(xyz)] ≥ 2   eqv. at x=y=z=1/2, (1/x)=(1/y)=(1/z)=2 | AM ≥ GM
=>  [(x+1/x)+(y+1/y)+(z+1/z)]/3 = (x+y+z)/3+(1/x+1/y+1/z)/3 ≥ 1/2+2 = 5/2
    eqv. at x=y=z=1/2, (1/x)=(1/y)=(1/z)=2, (x+1/x)=(y+1/y)=(z+1/z)=5/2
i.e.3√[(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)] ≥ 3/[1/(x+1/x)+1/(y+1/y)+1/(z+1/z)]
    eqv. at (x+1/x)=(y+1/y)=(z+1/z)=5/2  | GM ≥ HM
 ≥ 3/{[1/(5/2)+1/(5/2)+1/(5/2)]}  |(x+1/x=y+1/y=z+1/z=5/2)
 = 5/2
∴ (x+1/x)(y+1/y)(z+1/z) ≥ (5/2)3 = 125/8
☆子 是也

G@ry
版 主
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