[問題]幾何題目

[問題]幾何題目

??? 於 星期日 五月 13, 2007 10:57 am


三角形ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB,AC上分別取D,E使線段DE將三角形ABC分成面積相等的兩部分,試求DE的最小長度。
 
image file name: 2k1df02af13a.gif

???
訪客
 

Re: [問題]幾何題目

G@ry 於 星期日 五月 13, 2007 7:14 pm


??? 寫到:
三角形ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB,AC上分別取D,E使線段DE將三角形ABC分成面積相等的兩部分,試求DE的最小長度。
 
image file name: 2k1df02af13a.gif

image file name: 2k11f0df35ba.png
AI為角A平分線,AI分別交BC、DE於F及G,DE最短為與AG垂直;
延長AC至H令AH=AB=13,CH=1;ΔABH為等腰Δ;故AI⊥BH,DE//BH;
ΔABC面積=5*12/2=30,ΔADE面積=30/2=15,ΔAGE面積=15/2。

ΔHCB~ΔHIA~ΔEGA (AAA)  =>  AG:GE = AI:IH = BC:CH = 5:1  =>  AG = 5GE
AG*GE/2 = ΔAGE面積=15/2  =>  5*GE2 = 15  =>  GE = √3  => DE = 2√3。
☆子 是也

G@ry
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宇智波鼬 於 星期日 五月 13, 2007 9:57 pm


Another method:
We use coordinate Geometry.
Let A be the origin, C be (12,0), B be (5,0)
Also, D will be (12r,5r) E be (a,0) (Where r and a are both reals)
Obviously, ar=30
The shortest distance is √[(12r-a)^2+25r^2]
=169r^2-144+36/r^2
144 is a constant, so the value depends on 169r^2+36/r^2.
By the AM-GM, we can easily find out the minimum.
When r=6/13, 169r^2+36/r^2-144=12
So, DE=√12
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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G@ry 於 星期一 五月 14, 2007 2:36 pm


宇智波鼬 寫到:Another method:
We use coordinate Geometry.
Let A be the origin, C be (12,0), B be (12,5)
Also, D will be (12r,5r) E be (a,0) (Where r and a are both reals)
Obviously, 5ar=30, ar=6
The shortest distance is √[(12r-a)^2+25r^2]
=√(169r^2-144+36/r^2)
144 is a constant, so the value depends on 169r^2+36/r^2.
By the AM-GM, we can easily find out the minimum.
When r=6/13, 169r^2+36/r^2-144=12
So, DE=√12

some mistakes...
☆子 是也

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宇智波鼬 於 星期一 五月 14, 2007 9:37 pm


Thanks for correcting my solution...
Though those mistakes don't really matter. XD
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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