[數學]摺紙問題

[數學]摺紙問題

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期六 四月 28, 2007 7:34 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

如圖,正方形ABDC中
CG=GH=HA
DE=EF=FB
若將H摺到GE上,同時讓A在BD上
證明
DA:AB=2^(1/3):1
 

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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Re: [數學]摺紙問題

G@ry 於 星期日 四月 29, 2007 8:59 am


☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

如圖,正方形ABDC中
CG=GH=HA
DE=EF=FB
若將H摺到GE上,同時讓A在BD上
證明
DA:AB=2^(1/3):1
 

解題得出下圖:
image file name: 2kf5d256c92c.png
設AH=A'H=x, 正方形邊長=3x, JB=y, JA=JA'=3x-y;
A'B = √[(3x-y)2-y2] = √[3x(3x-2y)]; ∠EH'A'=∠BA'J=θ => EA' = xsinθ = xy/(3x-y)

由於以下開始的計算比較複雜,故暫設x=1來簡化計算,下面另有保留x的版本:(下面設a3=2, a=21/3)
2=EB=EA'+A'B=y/(3-y)+√[3(3-2y)]=> [(2-y)√3]2=[(3-y)√(3-2y)]2=> y3-6y2+12y-15/2=0
設 z=y-2, (z+2)3-6(z+2)2+12(z+2)-15/2=0  =>  z3=-1/2, z=-1/a  =>  y=2-1/a;
A'B = √[3(3-2y)] = √[3(3-4+2/a)] = √[3(a2-1)(a4+a2+1)] / √(a4+a2+1)
      = √[3(a6-1)] / √(2a+a2+1) = √[3(4-1)] / √(a+1)2 = 3/(a+1)
DA':A'B = (DB-A'B)/A'B = DB/A'B-1 = 3/[3/(a+1)]-1 = a = 21/3:1


有x的版本:(下面設a3=2, a=21/3)
2x = EB = EA'+A'B = xy/(3x-y) + √[3x(3x-2y)]  =>  [(2x-xy)√3x]2 = [(3x-y)√(3x-2y)]2
=>  y3-6xy2+12x2y-15x3/2 = 0
設 z=y-2x, (z+2x)3-6x(z+2x)2+12x2(z+2x)-15x3/2=0  =>  z3=-x3/2, z=-x/a  =>  y=2x-x/a;
A'B = √[3x(3x-2y)] = √[3x(3x-4x+2x/a)] = √[3x2(a2-1)(a4+a2+1)] / √(a4+a2+1)
      = √[3x2(a6-1)] / √(2a+a2+1) = √[3x2(4-1)] / √(a+1)2 = 3x/(a+1)
DA':A'B = (DB-A'B)/A'B = DB/A'B-1 = 3x/[3x/(a+1)]-1 = a = 21/3:1

☆子 是也

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