[數學]3道對數題

[數學]3道對數題

宇智波鼬 於 星期一 七月 24, 2006 9:55 pm


1.已知logx及log(10/x)的首數分別為a及b. 試求a^2-2b^2的最大植.

2.已知a>0,且, 求證:


3.已知


a.b.c.k都是整數. 且15>c>b>a>5. 求a.b.c.k的值.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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aa2191943 於 星期一 七月 24, 2006 10:33 pm


第一題不知是何處的考題, 現在這題幾乎是每本講義必備的對數題目;
(不過我現在是自己想, 沒去翻講義, 也不確定正不正確)
log x = a + log A
log (10/x)= b + log B
其中a,b為整數, A,B=[1,10)
→ 1 = (a+b) + log(AB)
→ a+b = 0或1
討論:
1. a+b = 0, a2 - 2b2 = -a2 < 0
2. a+b = 1, a2 - 2b2 = (1-b)2 -2b2 = -b2-2b+1= -(b+1)2+2
a=2, b=-1, max=2 (此時 x=100)
 

aa2191943
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aa2191943 於 星期一 七月 24, 2006 10:57 pm


第二題:
揣摩題意; 我的想法是須證明:
-1 < log2a < -0.5
(但是我不太會做, 只好提供想法)

aa2191943
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studentallen 於 星期六 三月 31, 2007 11:04 pm


第二題:

1. 等式  a2^a =0.5  取以0.5為底的對數 =>得 2a log0.5a=1  =>log0.5a=0.5a

                                                                                           => a=0.50.5^a 

2.  a>0  ,0<0.5<1  =>  0<0.5a<1   =>0.51<0.50.5^a <0.50

                                                                      | |

                                                     => 0.5<     a       <1     =>0.5<0.5a<0.50.5

                                                                                        =>0.50.5^0.5<0.50.5^a<0.50.5

3.0.50.5 =1/根號2 >0.50.5^a=a (由紅字和藍字知)

4.又由0.50.5<1  =>0.50.5^0.5 >0.51    =>0.50.5^a= a >0.50.5^0.5 >0.5 (由粗體字知)

5.由橘色知0.50.5 > a >0.5   .....##


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galaxylee 於 星期日 四月 01, 2007 1:53 am


2.
底下log皆以1/2為底
a^(2^a)=1
log[a^(2^a)]=1
=>(2^a)(loga)=1
=>loga=(1/2)^a
a是y=logx和y=(1/2)^x圖形交點x坐標
因為y=logx和y=(1/2)^x和y=x交於同一點
所以a亦滿足a=loga
 
用反證法
(1)若a≧1/√2,則1/√2≦a=loga≦log(1/√2)=1/2,矛盾
(2)若a≦1/2,則a=loga≧log(1/2)=1,矛盾
由此得證,1/2<a<1/√2
 
3.
b(2a-b)=k^5
a^2+b^2+8a+6b=k^2
k是不為1的正整數,k^5>k^2
=>a^2+b^2+8a+6b<b(2a-b)
=>a^2+(8-2b)a+(2b^2+6b)<0....(*)
判別式=(8-2b)^2-4(2b^2+6b)=4[-(b+7)^2+65]
當7≦b≦13,判別式<0
表示a^2+(8-2b)a+(2b^2+6b)>0恆正
(*)無a的實數解
此題無解,或者題目本身就有問題

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studentallen 於 星期日 四月 01, 2007 10:45 am


Q3:
I think the question should be
已知 logk(2a-b)=5-logkb 且 logc(a2+b2+8a+6b)=2    .......紅色部份是修改的 後面的條件應該沒問題
 
1. 已知 logk(2a-b)=5-logkb    整理得=>logkb(2a-b)=5    =>b2-2ab+k5=0------<1>
2.因為b是整數    故式<1>可視為以b為未知的二次方程 
   其判別式D=4a2-4k5大於等於0    => k5小於等於a2
3.由5<a<15  => k5<152<35    因為k是底數  => k不等於0和1   又k是整數 k只能是2
4.代回<1>得   b(2a-b)=2    因為a,b是整數  =>b必為2的正整數次方 
                     又5<b<15     => b=8
5. b=8  8(2a-8)=32  a=6     =>c2=a2+b2+8a+6b=196   又底數c>0  =>  c=14
                                                       

studentallen
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