[數學]不等式題

[數學]不等式題

skywalker 於 星期六 三月 17, 2007 9:54 pm


設正實數a,b滿足a^3+b^3+3ab=1
 
試求[a+(1/a)]^3+[b+(1/b)]^3之最小值
目前是一位剛考完學測高三生,對數學和小動物最感興
趣,還請各位多多指教!!
生命少不了貪戀,貪戀才是人生

skywalker
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宇智波鼬 於 星期日 三月 18, 2007 10:23 am


很明顯[a+(1/a)]^3+[b+(1/b)]^3的min決定於ab的值.
而a^3+b^3+3ab=1
當a=b=1/2時會使ab有最大值1/4.
如此會使得原式越小.
因此原式最小值=2*(5/2)^3=250/8.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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aaaaa 於 星期日 三月 18, 2007 2:27 pm


 
若正實數a,b滿足a^3+b^3+3ab=1
則 [a+(1/a)]^3+[b+(1/b)]^3≧125/4
要如何證明???

aaaaa
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宇智波鼬 於 星期日 三月 18, 2007 5:48 pm


Let me put it this way...
a+(1/a)>=2>1. So, when a or 1/a increases, a+(1/a) will also increase.
That means the min value of a+(1/a) appears when a=1/a.
The situation b is the same.
a^3+b^3+3ab=1 tells us a is not equal to 1.
But obviously, we'll get the min when a=b.
Solve the equation: 2a^3+3a^2=1.
We get a=-1 or 1/2.
a is postive real, so we choose 1/2.
That's how we get the answer.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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aaaaa 於 星期日 三月 18, 2007 10:28 pm


雖然大部分的情形,不等式等號成立的條件都是a=b時
但也不能由a=b來反推a,b的值。
 
若是參加數學競試,這樣寫肯定會被扣分。

aaaaa
訪客
 

galaxylee 於 星期一 三月 19, 2007 6:43 pm


a^3+b^3+(-1)^3-3ab(-1)=0

(a+b-1)(a^2+b^2+1-ab+a+b)=0

a+b=1a^2+b^2+1-ab+a+b=0(不合)

(因為a^2+b^2+1-ab+a+b=(a-b)^2+(a+1)(b+1)0)

 

考慮函數y=f(x)=(x+1/x)^3

因為y=f(x)在區間(0,1)是凸函數(凹向上)

所以由Jensen不等式

0a,b1a+b=1

則有[f(a)+f(b)]/2f[(a+b)/2]

(1/2)*[(a+1/a)^3+(b+1/b)^3](2+1/2)^3

[(a+1/a)^3+(b+1/b)^3]125/4

等號成立時,取a=b=1/2

最小值125/4

 


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宇智波鼬 於 星期一 三月 19, 2007 9:51 pm


To:aaaaa
那部份我以用函數圖形確定過了...(也就是證明過了)
因為懶的打所以沒說明....若是競賽時我一定會補上...請放心^^
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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