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skywalker · 由 **skywalker** 於星期三一月 31, 2007 7:36 am

設O,I分別為三角形的外心和內心，三角形ABC的內切圓與邊BC,CA,AB分別相

交於D,E,F，直線FD與CA相交於點P，直線DE與AB相交於點Q，點M,N分別為

線段PE,QF的中點，求證OI⊥MN

skywalker · 由 **skywalker** 於星期六三月 17, 2007 10:18 pm

考慮三角形ABC與截線PFD，由Menelaus定理

有CP/PA*AF/FB*BD/CD=1=>PA/CP=AF/FB*BD/CD=AF/CD=(p-a)/(a-c)

即PA/CP=(p-a)/(a-c)

∴PA=b(p-a)/(a-c)

∴PE=PA+AE=b(p-a)/(a-c)+p-a=(p-a)(p-c)/2(a-c)

ME=1/2PE=(p-a)(p-c)/4(a-c)

MA=ME-AE=(p-a)(p-c)/4(a-c)-(p-a)=(p-a)^2/4(a-c)

MC=ME+EC=(p-a)(p-c)/4(a-c)+(p-c)=(p-c)^2/4(a-c)

於是MA*MC=ME^2

∵ME是點M到三角形ABC內切圓之切線長

∴ME^2是點M到三角形ABC外接圓的冪

MA*MC=ME^2表明點M到三角形ABC外切圓與內切圓的冪相等

從而點M在三角形ABC外接圓與內切圓的根軸上

同理點N也在三角形外接圓與內切圓的根軸上

故OI⊥MN

[問題]2007中國奧林匹克