海盜的目標依據優先程度排列如下:
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條件一: 保命最優先
條件二: 寶石越多越好
還要再加一個條件會更嚴謹;
條件三: 儘可能殺人
條件三可以確保當條件一與二都成立時, 海盜有行動的依據.
以下為討論:
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若只剩下最後一人, 太容易了.
所得分配表( 剩最後一人 ):
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海盜 10000
寶石 100
若只剩下最後兩人, 不論最後一人反對與否, 提案都過( 一票對一票 ).
結果是倒數第二人獨吞.
所得分配表( 剩最後兩人 ):
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海盜 9999 10000
寶石 100 0
接下來討論剩下三人. 依據上面圖表, 倒數第三人要拉攏沒有拿到寶石的人比較容易.
所以最後一人給一顆, 倒數第二人拿不到.
請注意"拉攏沒有拿到寶石的人比較容易"這句話, 這是函式迴圈的關鍵.
所得分配表( 剩最後三人 ):
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海盜 9998 9999 10000
寶石 99 0 1
接下來討論剩下四人. 依據上面圖表, 倒數第四人要拉攏沒有拿到寶石的人比較容易.
所以"之前沒有寶石的拿到一顆, 有寶石的拿不到".
請注意"之前沒有寶石的拿到一顆, 有寶石的拿不到"這句話, 這是函式迴圈的關鍵中的關鍵.
所得分配表( 剩最後四人 ):
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海盜 9997 9998 9999 10000
寶石 99 0 1 0
依據"之前沒有寶石的拿到一顆, 有寶石的拿不到"這句話, 我們可以討論一個命題:
命題A: 剩下x個人時 ( x<200 ), 有寶石的人與沒寶石的人的號碼是相互間隔的, 且決策者拿最多, 其餘的人最多一顆.
用數學歸納法求證:
1. 當 x=1, x=2, x=3, x=4 時此命題A為真(請見上表)
2. 假設當 x=n 時命題A為真,
3. 則 x=n+1 時, 依據"之前沒有寶石的拿到一顆, 有寶石的拿不到"之原則, 可以確保命題A為真.
故對任意正整數 x<200, "有寶石的人與沒寶石的人的號碼是相互間隔的, 且決策者拿最多, 其餘的人最多一顆.", 得証.
先觀察剩下一百九十九人的狀況, 得知偶數號有獎, 奇數沒有.
所得分配表( 剩一百九十九人 ):
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海盜 9802 9803 9804 9805 ............ 9998 9999 10000
寶石 1 0 1 0 ............ 1 0 1
再觀察剩下正好兩百人的狀況, 得知奇數號有獎, 偶數沒有.
所得分配表( 剩最後兩百人 ):
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海盜 9801 9802 9803 9804 9805 ............ 9998 9999 10000
寶石 1 0 1 0 1 ............ 0 1 0
再觀察剩下正好兩百零一人的狀況, 一樣是"之前沒有寶石的拿到一顆, 有寶石的拿不到",
但是這時已經沒有好東西留給決策者了( 一百顆寶石買票用完了 ), 決策者只能保命不能貪.
所得分配表( 剩最後兩百零一人 ):
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海盜 9800 9801 9802 9803 9804 9805 ............ 9998 9999 10000
寶石 0 0 1 0 1 0 ............ 1 0 1
再觀察剩下正好兩百零二人的狀況, 原則變了!!
原則改成: "前表中沒有寶石人中取一百人, 各發一顆; 原本有寶石的當然沒的拿".
前表中有一百零一人沒有寶石, 所以一共有一百種分配的狀況,
哪一百零一人沒寶石呢? 不包含決策者的所有奇數以及9800號.
請注意!! 前兩百零二人是沒有生死問題的, 所以她們可以不必擔心自己死活, 只要關心有沒有寶石.
再觀察剩下正好兩百零三人的狀況, 沒救了, 一百顆寶石買到一百票, 加自己, 共一百零一票, 少於半數, 死吧!
當然有人會說, 第兩百零二人反正怎樣都得不到寶石, 為什麼要反對第二百零三人的議案呢? 別忘了我們加了條件三( 儘可能殺人 ).
再觀察剩下正好兩百零四人的狀況, 第兩百零三人不可能反對的, 不然就是自殺!!
所以只要把寶石分給前兩百零二人, 就可獲得一百票; 再加上自己與第兩百零三人的兩票, 過關!!
可是寶石要怎麼分呢? 隨便分! 因為第兩百零二人的決策不是唯一的(有一百種), 所以沒有人能肯定自己在第兩百零二人的時候能拿到寶石!
當然, 那些在第兩百零二人的決策裡拿不到寶石的人一定是感激涕零的收下了, 而那些可能獲得寶石的人也有 1/101 的機率拿不到.
所以任何分到寶石的人都會投贊成票, 不會等下一次(也沒有理由等, 寶石比害人重要, 況且這寶石將來有機率拿不到).
請注意, 最原先是有兩百零二個人是不怕死的, 現在則是兩百零四人了.
再請注意, 從現在開始, 沒有人一定會得到寶石了, 所以寶石的分配是隨機的, 不必指定誰.
誰拿到寶石都會高興, 因為她不能保證將來一定能得到寶石.
再觀察剩下正好兩百零五人的狀況, 既然第兩百零四與兩百零三的人不會死, 那她們的同情心也沒了; 所以只有得到寶石的人會贊成....
然而一百顆寶石是絕對不夠買票的......所以決策者必死.
再觀察剩下正好兩百零六人的狀況, 我們知道第兩百零五人是為了保命一定會投贊成票的; 可是前兩百零四人裡只有最多一百個接收賄款的人會贊成, 這仍是不夠的.
再觀察剩下正好兩百零七人的狀況, 我們知道第兩百零五及兩百零六人是為了保命一定會投贊成票的; 可是前兩百零四人裡只有最多一百個接收賄款的人會贊成, 這仍是不夠的.
再觀察剩下正好兩百零八人的狀況, 我們知道第兩百零五及兩百零六人及兩百零七人是為了保命一定會投贊成票的; 所以正好過關!!
然而一但過關, 則這兩百零八人又變成鐵石心腸, 唯錢是命了.
觀察鐵石心腸, 唯利是圖不怕死的人數變化, 我們可以討論以下公式:
第一次鐵石心腸的人數為 202
第二次鐵石心腸的人數為 204
第三次鐵石心腸的人數為 208
f(0) = 202
f(1) = 204
f(2) = 208
設f(n)為第n次鐵石心腸的人數, f(n) - 100 為其中反對票數; 100 + k 為贊成票數;
若 100 + k = f(n) - 100, 則提案過關; 一但提案過關, 則 f(n) + k 通通變成不怕死的鐵石心腸人, 也就是 f(n+1)
若 100 + k = f(n) - 100, 則 k = f(n) - 200,
故 f(n+1) = f(n) + k = 2*f(n) -200
所以:
f(n) = 2*f(n-1) - 200
2*f(n-1) = 4*f(n-2) - 400
4*f(n-2) = 8*f(n-3) - 800
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每行等號左右相加得知 f(n) = 2^(n+1) + 200
當 n = 12 時, f(12) = 8192 + 200 = 8392, 也就是說此時有八千三百九十二個不怕死(因為不會死), 唯錢是命的人.
剩下 10000 - 8392 = 1608人, 就算一千多人大家團結自助, 也敵不過八千多個冷血無情反對票...
當妳是第1609人時,妳要知道 f(11) = 4096 + 200 = 4296, 也就是說最後 4296 的人是無情冷血不怕死的.
而其他的人則為了保命一定無條件支持妳(一但妳死, 她們也逃不了).
故正解為:
前1608人死, 第1609人在最後4296人中任取一百人, 一人一顆寶石; 贊成與反對票各 4196, 通過.
