前提:
連續 x 個農夫排成一隊, 每個農夫都看得見自己前面的所有的人, 也聽得到每個人的說話.
連續 x 個農夫排成一隊, 每個農夫都看得見自己前面的所有的人, 也聽得到每個人的說話.
假設:
每個農夫都知道全部一共有幾頂紅帽, 幾頂黃帽, 幾頂綠帽.
每個農夫都知道全部一共有幾頂紅帽, 幾頂黃帽, 幾頂綠帽.
策略:
假設每個人都知道全部一共有幾頂紅帽, 幾頂黃帽, 幾頂綠帽.
同時每個人都可以看見自己前方所有的人, 也可以聽見自己後方所有的回答;
所以對每一個農夫而言, 只要他後方的回答全部都是對的, 那他就可以推算出自己的顏色了.
假設每個人都知道全部一共有幾頂紅帽, 幾頂黃帽, 幾頂綠帽.
同時每個人都可以看見自己前方所有的人, 也可以聽見自己後方所有的回答;
所以對每一個農夫而言, 只要他後方的回答全部都是對的, 那他就可以推算出自己的顏色了.
我們從隊伍中的最後一個人開始猜, 最後一個人能夠看到其他所有人, 所以他不會錯.
如果上一句為真, 對倒數第二人而言, 他後方的答案是一定對的, 所以他也不會錯.
如果上一句為真, 對倒數第三人而言, 他後方的答案是一定對的, 所以他也不會錯.
..........................................
如果上一句為真, 對倒數第 x 人而言, 他後方的答案是一定對的, 所以他也不會錯.
如果上一句為真, 對倒數第二人而言, 他後方的答案是一定對的, 所以他也不會錯.
如果上一句為真, 對倒數第三人而言, 他後方的答案是一定對的, 所以他也不會錯.
..........................................
如果上一句為真, 對倒數第 x 人而言, 他後方的答案是一定對的, 所以他也不會錯.
結論甲:
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"如果 x 個農夫知道全部一共有幾頂紅帽, 幾頂黃帽, 幾頂綠帽,
那他們從隊伍最末一個人開始猜自己的顏色, 猜完再讓前一個人猜,
最後的下場是人人都獲救."
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所以說, 我的想法是犧牲 n 個農夫, 用她們的回答來作暗號;
好讓接下來的 m 個農夫知道她們之間一共有幾頂紅帽, 幾頂黃帽, 幾頂綠帽.
我稱那 n 個農夫為犧牲者, 那 m 個農夫為獲救者.
犧牲者在隊伍的後面, 所以她們看到的資訊比較多; 獲救者排在隊伍的前面.
假設 n 為 3, 那麼這三個犧牲者一共可以產生五種暗號:
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三個全同 => 例: 紅紅紅
中間不同 => 例: 紅黃紅
尾巴不同 => 例: 紅紅黃
前頭不同 => 例: 黃紅紅
全不同 => 例: 紅黃綠
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三個全同 => 例: 紅紅紅
中間不同 => 例: 紅黃紅
尾巴不同 => 例: 紅紅黃
前頭不同 => 例: 黃紅紅
全不同 => 例: 紅黃綠
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假設 m 為 7, 那麼這七個獲救者的帽子的各種顏色數量一共有八種組合:
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顏色一 顏色二 顏色三 ( 下面數字為該顏色出現次數 )
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組合一 7 0 0
組合二 6 1 0
組合三 5 2 0
組合四 5 1 1
組合五 4 3 0
組合六 4 2 1
組合七 3 3 1
組合八 3 2 2
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顏色一 顏色二 顏色三 ( 下面數字為該顏色出現次數 )
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組合一 7 0 0
組合二 6 1 0
組合三 5 2 0
組合四 5 1 1
組合五 4 3 0
組合六 4 2 1
組合七 3 3 1
組合八 3 2 2
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依據結論甲的暗示, 我們要想方法用五種暗號來代表八種組合.
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組合六( 4, 2, 1 )可以用"全不同"來代表.
組合七( 3, 3, 1 )可以用"尾巴不同"來代表.
組合八( 3, 2, 2 )可以用"前頭不同"來代表.
組合一( 7, 0, 0 )與組合四( 5, 1, 1 )可以用"三個全同"來代表.
組合二( 6, 1, 0 ),組合三( 5, 2, 0 )與組合五( 4, 3, 0 )可以用"中間不同"來代表.
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組合六( 4, 2, 1 )可以用"全不同"來代表.
組合七( 3, 3, 1 )可以用"尾巴不同"來代表.
組合八( 3, 2, 2 )可以用"前頭不同"來代表.
組合一( 7, 0, 0 )與組合四( 5, 1, 1 )可以用"三個全同"來代表.
組合二( 6, 1, 0 ),組合三( 5, 2, 0 )與組合五( 4, 3, 0 )可以用"中間不同"來代表.
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1. 用"全不同"的暗號( 例:紅黃綠 )來處理組合六( 4, 2, 1 ):
最前面的( 例:紅 )出現四次, 中間的( 例:黃 )出現兩次, 最後面的( 例:綠 )出現一次.
2. 用"尾巴不同"的暗號( 例:紅紅黃 )來處理組合七( 3, 3, 1 ):
最後面的( 例:黃 )代表出現一次的顏色, 前面兩個暗號是紅還是綠都沒差.
也就是說, "紅紅黃" 與 "綠綠黃" 是一樣的, 反正紅與綠都出現三次, 只有黃比較特別.
3. 用"前頭不同"的暗號( 例:黃紅紅 )來處理組合八( 3, 2, 2 ):
最前面的( 例:黃 )代表出現三次的顏色, 後面兩個暗號是紅還是綠都沒差.
也就是說, "黃紅紅" 與 "黃綠綠" 是一樣的, 反正紅與綠都出現兩次, 只有黃比較特別.
4. 用"三個全同"的暗號( 例:紅紅紅 )來處理組合一與組合四:
當然, "紅"代表組合一( 7, 0, 0 )裡的 7 或是組合四( 5, 1, 1 )裡的 5.
這裡有一個新問題是, 獲救的七個人要如何區分現在是組合一還是組合四?
其實不難; 組合四( 5, 1, 1 )裡有兩個不是紅色的帽子:
若妳本身是紅色的, 那妳肯定會看到不是紅色的帽子或是聽到不是紅色的回答;
若妳本身不是紅色, 妳也會看到另一個不是紅色的帽子或聽到另一個不是紅色的回答.
所以對每一個獲救者而言, 若是他看到與聽到的都是紅色, 那就是組合一.
不然, 他一定會看見或聽見一個以上不是紅色; 那就是組合四.
若妳本身是紅色的, 那妳肯定會看到不是紅色的帽子或是聽到不是紅色的回答;
若妳本身不是紅色, 妳也會看到另一個不是紅色的帽子或聽到另一個不是紅色的回答.
所以對每一個獲救者而言, 若是他看到與聽到的都是紅色, 那就是組合一.
不然, 他一定會看見或聽見一個以上不是紅色; 那就是組合四.
5. 用"中間不同"的暗號( 例:紅黃紅 )來處理組合二, 組合三與組合五:
5.1. 先討論組合二( 6, 1, 0 )與組合五( 4, 3, 0 ):
我們用這三個暗號( 例:紅黃紅 )的頭尾( "紅" )代表多的那個顏色,
也就是組合二的 6 與組合五的 4.
然後用這三個暗號( 例:紅黃紅 )中間的暗號( "黃" )代表少的那個顏色,
也就是組合二的 1 與組合五的 3.
那獲救的七個人要如何區分現在是組合二還是組合五?
也就是組合二的 6 與組合五的 4.
然後用這三個暗號( 例:紅黃紅 )中間的暗號( "黃" )代表少的那個顏色,
也就是組合二的 1 與組合五的 3.
那獲救的七個人要如何區分現在是組合二還是組合五?
其實不難; 組合二裡只有一個"黃", 所以不可能有人看到加聽到超過一個"黃";
而組合五裡有三個黃, 所以就算自己是"黃", 也至少看到加聽到另外兩個"黃".
所以對每一個獲救者而言, 若是他看到與聽到的超過一個"黃", 那就是組合五.
不然就是組合二;
而組合五裡有三個黃, 所以就算自己是"黃", 也至少看到加聽到另外兩個"黃".
所以對每一個獲救者而言, 若是他看到與聽到的超過一個"黃", 那就是組合五.
不然就是組合二;
5.2. 再討論組合三( 5, 2, 0 ):
我們用三個暗號( 例:紅黃紅 )的頭尾( "紅" )代表多的那個顏色,
也就是組合三的 5.
然後用三個暗號( 例:紅黃紅 )中間的暗號( "黃" )代表"沒出現"的那個顏色,
也就是組合三的 0.
請注意, 在這個例子裡, 暗號裡面沒有"綠", 但是綠色帽子有兩個( 組合三的 2 ),
所以就算自己的帽子是"綠", 自己也一定會向前看到或從後面聽到另一個"綠"色;
也就是說, 沒有人會"看不到也聽不到"綠色, 縱然暗號裡沒有"綠".
也就是組合三的 5.
然後用三個暗號( 例:紅黃紅 )中間的暗號( "黃" )代表"沒出現"的那個顏色,
也就是組合三的 0.
請注意, 在這個例子裡, 暗號裡面沒有"綠", 但是綠色帽子有兩個( 組合三的 2 ),
所以就算自己的帽子是"綠", 自己也一定會向前看到或從後面聽到另一個"綠"色;
也就是說, 沒有人會"看不到也聽不到"綠色, 縱然暗號裡沒有"綠".
5.3. 綜合討論組合二( 6, 1, 0 ),組合三( 5, 2, 0 )與組合五( 4, 3, 0 ):
當一個獲救者聽到 "中間不同" 的暗號( 例:紅黃紅 )時;
他首先看看那個三個暗號( 例:紅黃紅 )中都沒有提到的顏色( "綠" ),
有沒有出現在前面其他人的頭上或是背後的人的回答裡;
他首先看看那個三個暗號( 例:紅黃紅 )中都沒有提到的顏色( "綠" ),
有沒有出現在前面其他人的頭上或是背後的人的回答裡;
若是有, 那就是組合三( 5, 2, 0 ): 五紅二綠.
若是沒有, 那他要看看三個暗號( 例:紅黃紅 )中間的暗號( "黃" ),究竟出現了幾次;
若是超過一次, 那就是組合五( 4, 3, 0 ): 四紅三黃.
若不超過一次, 那就是組合二( 6, 1, 0 ): 六紅三黃.
若是沒有, 那他要看看三個暗號( 例:紅黃紅 )中間的暗號( "黃" ),究竟出現了幾次;
若是超過一次, 那就是組合五( 4, 3, 0 ): 四紅三黃.
若不超過一次, 那就是組合二( 6, 1, 0 ): 六紅三黃.
五種暗號可以完全代表八種顏色數量組合;
而依據之前的結論甲, 知道顏色數量組合就可以保證大家都活;
所以三個犧牲者可以拯救七個人.
100/(3+7) = 10
10*7 = 70 一共有七十人必活.
(10*3) / 3 = 10 另外三十人有三分之一的機率矇對.
10*7 = 70 一共有七十人必活.
(10*3) / 3 = 10 另外三十人有三分之一的機率矇對.
答: 70人必活, 期望值80人.
