[數學]代數題..

[數學]代數題..

skywalker 於 星期一 一月 15, 2007 10:19 pm


已知x^4-10x^2+8x+k=0有兩根的合為2,試求常數k與其四根

skywalker
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gkw0824usa 於 星期二 一月 16, 2007 2:01 pm


By Vieta's formula, we know that there must exist a factor that is x2-2x+a,
therefore we can let the factors of the initial equation be
                      x2-2x+a
            x )      x2+bx+c
                                          
1. We know that the coefficient of x3 is 0,
    therefore, b-2=0 → b=2.
2. We know that the coefficient of x2 is -10,
    hence, a+c-2b=-10 → a+c=-6
3. We know that the coefficient of x is 8,
    thus -2c+ab=8 → a-c=4
4. By a+c=4, a-c=4 we know a=-1, c=-5
    therefore, k=ac=5
5. By those above, we could find out:
initial equation
→(x2-2x-1)(x2+2x-5)=0
image file name: 2k957475bdb4.gif
 
 
 
Thanks, I've corrected it
 

gkw0824usa
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skywalker 於 星期二 一月 16, 2007 9:54 pm


答案有誤喔
 
其實不需要用到那麼麻煩

skywalker
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gkw0824usa 於 星期三 一月 17, 2007 1:26 pm


skywalker 寫到:
 
其實不需要用到那麼麻煩
請指教

gkw0824usa
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skywalker 於 星期四 一月 18, 2007 8:08 pm


易知四根合為0,其中兩根合為2,則另兩根之合為-2
 
令四根為α, β, γ, δ,且α+β=-2,γ+δ=2
 
原方程式=(x^+2x+αβ)(x^2-2x+γδ)=0....(1)
 
再令αβ=a,γδ=b
 
(1)=>(x^+2x+a)(x^2-2x+b)=0
 
比較係數得a-b=4,a+b=-6
 
a=-1,b=-5
 
k=5,(1)=(x^2-2x-1)(x^2+2x-5)
 
=>x=-1+-√6或1+-√2

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gkw0824usa 於 星期四 一月 18, 2007 11:00 pm


Ahh~ I see, thanks! I didn't even realize that!
No wonder I felt skeptical about my solution to the problem.
It shouldn't be that complicated!

gkw0824usa
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