[轉貼]關於哥德巴赫猜想研究情況的分析與思考

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J+W 於 星期三 八月 24, 2005 12:13 pm


關於哥德巴赫猜想研究情況的分析與思考
                         劉  宇
              (xx單位 xx縣  xx省  629000  中國)

提要:本文通過對哥德巴赫猜想研究情況的分析,指出其研究未取得成功的原因及存在的問題,並針對存在的問題提出個人的粗淺看法,以此餐食讀者,並與同行共商榷。
主題詞:哥德巴赫猜想  研究情況  分析  思考

   一、哥德巴赫猜想研究情況的分析
哥德巴赫猜想是由德國一位駐俄羅斯公使哥德巴赫於1742年6月提出來的,後經數學家歐拉糾正後而得名.當時提出的問題,包括兩個方面的內容:一是指: “每個不小於6的偶數都是兩個素數之和”;二是指:每個不小於9的奇數,都是三個奇合數之和。而我們目前需要研究解決的是:“每個不小於6的偶數都是兩個素數之和”,簡稱哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想已有260多年的歷史,18世紀和整個19世紀,對這個猜想的研究沒有取得任何進展。近80年來, 哥德巴赫猜想吸引了世界上很多著名數學家的興趣,不少科學家以及數學業餘愛好者也積極參與其中。他們雖然都下了很大苦功,也取得了一些成果,但到目前爲止,還沒有人取得最後的成功。
   (一)數學家探索哥德巴赫猜想研究情況的分析
數學家們探索哥德巴赫猜想探索了260 多 年,最高峰期爲十九世紀的前70 年。在世界範圍內,比較著名的數學家有:德國的哥德巴赫、歐拉、拉代馬哈,
前蘇聯的西涅日爾曼、阿.維諾格拉多夫、布赫斯塔勃、巴爾巴恩,挪威的布朗,英國的愛斯特曼,中國的王元、潘承洞、陳景潤,匈牙利的瑞尼,義大利的朋比尼等7個國家的14位數學家,他們都無一取得成功。下面列表(見表一)簡要分析一下數學家們探索哥德巴赫猜想(1+1)的研究情況。
從(表一)中可以看出,數學家們探索哥德巴赫猜想未取得成功的原因主要有以下幾個方面:
一是證明前提不對路。哥德巴赫猜想提出前提條件是 :“每個不小於6 的
偶數”的前提條件,而數學家們證明的前提條件是:“每個充分大的偶數”。這不
表一:       數學家探索哥德巴赫猜想(“1+1”)情況統計表
時間 國家 探索人 命   題 篩法 結果 備         注
1874 德國 哥德巴赫 2m+4=1+1 無 提出(歐拉糾正)
1912 2m+4≤ΣC 5屆國數會提出
1930 前蘇聯 西涅日爾曼 2m+4=ΣC C=S≤800000[①]最大一次突破
1937 前蘇聯 阿.維諾格拉多夫 充分大偶數=1+1+1 圓法三角和法 最大突破,稱爲三素定理
1920 挪威 布  朗 充分大偶數=m+n(也稱“a+b”) 布朗篩法 9+9 邁出決定意義的一步
1924 德國 拉代馬哈 充分大偶數=m+n 布朗篩法 7+7
1932 英國 愛斯特曼 充分大偶數=m+n 布朗篩法 6+6
1938 前蘇聯 布赫斯塔勃 充分大偶數=m+n 布朗篩法 5+5
1940 前蘇聯 布赫斯塔勃 充分大偶數=m+n 布朗篩法 4+4
1956 中國 王   元 充分大偶數=m+n 布朗篩法 3+4
1956 前蘇聯 阿.維諾格拉多夫 充分大偶數=m+n 布朗篩法 3+3
1957 中國 王   元 充分大偶數=m+n 布朗篩法 2+3
1948 匈牙利 瑞   尼 充分大偶數=1+C 林尼克大篩法 1+C 最早用“1”。C爲常數
1948 匈牙利 蘭恩易 充分大偶數=1+C 同上 1+6
1962 中國前蘇聯 潘承洞巴爾巴恩 充分大偶數=1+C 同上 1+5
1963 中國前蘇聯 王元、潘承洞巴爾巴恩 充分大偶數=1+C 同上 1+4
1965 前蘇聯義大利 布赫斯塔勃維諾格拉多夫朋比尼 充分大偶數=1+C 同上 1+3
1966 中國 陳景潤 充分大偶數=1+C篩法稱陳氏定理 加權篩法(大篩法) 1+2 最好結果.王元、潘承洞、丁夏畦作出簡化證明.
  注①:C的取值,於1956年被中國尹文霖降低到C=S≤16。
能滿足哥德巴赫猜想命題提出 的“每個不小於6 的偶數”的前提條件,它們之間相差一定的距離,不能等同,或相提並論。
二是證明結論不對路,哥德巴赫猜想命題的結論是“1+1”,數學家們證明的結論是“ΣC”、“m+n”或“1+C”,與哥德巴赫猜想命題結論“1+1”大相徑庭。即使陳景潤同志的“1+2”結論,從表面看,只差一步(實際應差兩步即:將前提條件“每個充分大的偶數”轉化爲“每個不小於6 的偶數”、將“1+2”轉化爲“1+1”),但因他的前提條件與結論,因不符合哥德巴赫猜想命題的前提與結論的要求,而無法達到最終目的。
三是素數公式未求出。數學家們還沒有真正求出簡捷的素數公式,否則,用不著走彎路,就可以達到證明哥德巴赫猜想命題的目的。1983年,有個外國人找到一個素數公式:
f(m,n)=[(n-1)/2]{|[m(n+1)-(n!+1)]2-1|-[m(n+1)-(n!+1)]2+1}+2。
其中,m,n是自然數;n!是n的階乘,n!=1·2·3……·n。
這個公式從理論上講,能夠把各個素數都表示出來,而且也已獲得證明。但
因它太複雜而無法用於哥德巴赫猜想命題的證明。
四是“篩法”並不科學。數學家們的“篩法”並沒有達到頂峰,所以無法最終證明到哥德巴赫猜想命題。數學家們的篩法,均是在全體自然數中進行的,既要篩出偶合數,又要篩出奇合數,篩出的結果誤差較大,因此,難以達到全部篩出的目的。陳景潤同志的“篩法”,曾被英國數學家哈勃斯丹和德國(原西德)的數學家李希特稱爲“篩法”的“光輝的頂點”,但因他的“篩法”並沒有達到頂點而無法證明到“1+1”這一步。到目前爲止,“篩法”最好的應是一個印度學生辛達拉姆(Sundaram)于1934年發明的辛達拉姆篩法(詳見李維超著《辛達拉姆篩法的推廣》,《數學通報》2001年第3期,中國數學會、北京師範大學編輯)。辛達拉姆的篩法是:構建數陣——辛達拉姆表(略)。其結論是:若自然數N+出現在數陣勢中,則2n+1不是素數;若自然數N+不出現在數陣中,則2n+1必是素數。數陣通項爲am=(2m+1)n+m,n 爲行數,m爲列數。遺憾的是,他沒有把數陣用數學運算式表達出來,以至於人們無法運用他的發明來證明哥德巴赫猜想。
五是證明路徑不對路。大多數數學家的證明路徑,都是只證明後面的結論,而不證明前面的前置條件,包括現在的一些數學名家都還在犯此錯誤。也就是說,他們不按命題要求的方向去證明命題,不求出素數和合數公式表示式(以設定形式確定),並直接用比率、密度、概率或算數級數、數論函數等方法解析,尤如在建立空中樓角。不建立牢固的基礎,即使運用再先進、再高深的方法,並求出了命題的精確解,也不能被世人認可。因爲他的證明程式不能滿足命題的證明程式要求。這跟教師閱題、法官審案一樣,程式錯誤,題錯、官司輸。
其實,從《表一》來看,即從數學家們探索哥德巴赫猜想情況來看,數學家們的“m+n”法和“1+C”法,完全有可能證明到“每個充分大的偶數都可以表爲兩個素數之和”的命題。如對“1+C”法,其方法是:假定第一個素數“1”不變,對第二個素數,用n個素數之積除以(n-1)個素數之積(條件是:大偶數、各素數的設定條件相同,且取值範圍一致),得到第二個素數,就可以求證到“1+1”(其中“m+n”法難度較大一些, “1+C”法難度較小一些,但兩種方法總的證明都很複雜),但是,數學家們沒有想到這一步。例如,從《表一》中可知,從1932年的英國數學家愛斯特曼,到中國的數學家陳景潤,他們完全可以利用前一個數學家的證明成果或自己的證明成果,證明到“每個充分大的偶數都可以表爲兩個素數之和”的命題,特別是前蘇聯數學家布赫斯塔勃(5/4=“1”,即:5/4=P1P2P3P4P5/ P1P2P3P4=P1=“1”,以此類推,下同)、中國數學家王元(4/3=“1”)、中國數學家潘承洞(5/4=“1”)等,完全可以用自己已取得的成果來證明到“每個充分大的偶數都可以表爲兩個素數之和”的命題,但因沒有想到這種方法來證明(當然,主要原因是未找到簡捷的素數公式),而無法推進哥德巴赫猜想命題的證明,實在是感到十分宛惜。
  (二)業餘數學愛好者探索哥德巴赫猜想研究情況的分析。
在數學家探索哥德巴赫猜想的同時,業餘數學愛好者也在積極地探索哥德巴赫猜想,特別是在近40年,已成爲探索哥德巴赫猜想的最高峰,並多次形成探索熱潮,但因沒有專門的組織進行引導而芸花一現。據瞭解,世界人類對哥德巴赫猜想曾掀起過三次熱潮。第一次是1973年月(最早發表爲1966年,但未發表詳細證明,1973年月才發表詳細證明),因數學家陳景潤同志發表《大偶數表爲一個素數及不超過兩個素數乘積之和》(簡稱“1+2”)的文章而轟動全世界的轟動熱;第二次是1978年,因作家徐遲在光明日報上發表《哥德巴赫猜想》的報告文學,由中國人掀起的破解哥德巴赫猜想的熱潮;第三次是2000年3月,由於兩家外國出版公司爲出版《彼得羅斯大叔和哥德巴赫猜想》打廣告懸重賞而掀起的熱潮。這次熱潮中國人表現最爲突出,但因專業部門對破解哥德巴赫猜想的沒有期望值而降溫,使熱潮嗄然而止。熱潮雖然過去,但仍有不少執著者仍在堅持不懈地繼續探索,並且一些網站也設立專頁爲這些探索者提供交流探討的場地空間,如《東陸論壇》開設的《哥德巴赫猜想論壇》等,極大調動了探索者的探索積極性。據筆者瞭解,有極少數人的思路已探索到某些點上的路子,並正朝著有利方向發展,但依筆者看,還很難成氣候。因爲他們基本上還是處於原地踏步狀態,前進的可能性極小,同時還因爲他們沒有專業的專家或學者作指導,完全靠自己單打獨鬥,成功的機率極小。當然也不排除特殊的可能性,突然出現一個高智慧的業餘數學愛好者,在一瞬之間得到某種靈感或知識的啓迪,而一夜之間破解哥德巴赫猜想命題的可能。下面列表(見表二)簡要分析一下業餘數學愛好者探索哥德巴赫猜想的情況。
業餘愛好者的研究思路,與數學家們的研究思路大同小異,但數學家們的研究方法要專業得多,研究層次要高深得多。從《表二》來看,業餘愛好者的研究未取得成功的原因主要有以下幾個方面:
一是證明路徑錯誤。哥德巴赫猜想命題的證明路徑,按照題意理解應是:先找到“每個不小於6的偶數”的運算式,然後將其分解爲“兩個奇素數”,最後
證明“每個不小於6的偶數”是否都有“兩個奇素數之和”的情況存在。很多同志的證明方法是通過“1+1”來驗證或證明“每個不小於6的偶數”,也就是說反向證明命題,這是不正確的。因爲原命題是一個受限制的弱命題,而逆命題則是
表二:      業餘數學愛好者探索哥德巴赫猜想(1+1)情況分析表
學類方法 哥猜命題 證明命題 運用方法 篩法 6偶數表示 素數表示
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 同餘式 同餘篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 雙向法 雙向篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 比例法 比例篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 加強含量法 加強篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 全息法 全息篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 互補法 互補篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 點格法 格網篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 方程法 方程篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 推移法 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 6偶=1+1  驗證法 免篩
數學方法 6偶=1+1 6偶=1+1 概率法 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 原命題與逆命題法 免篩
數學方法 6偶=1+1 大偶數=1+1  摩根定律 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 抽屈原理 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 容斥原理 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 井字格定理 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 等量性質定理 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 皮亞諾定理 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 同異位自然數之差最小性質定理 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 歐拉函數 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 跳動函數 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 循環論 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 群論 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 環論 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 集合論 免篩 設定n 設定
數學方法 6偶=1+1 1+1=6偶 拓撲學 免篩 設定n 設定
哲學方法 6偶=1+1 偶=素·1+素·1 一分爲二 免篩 設定n 設定
哲學方法 6偶=1+1 否定之否定 免篩 設定n 設定
易經方法 6偶=1+1 八挂法 免篩 設定n 設定
電腦法 6偶=1+1 驗證法 免篩

一個強命題。因此原命題成立,逆命題不一定成立;逆命題成立,原命題不一定成立。也就是說,在這堶嚆D和逆命題是不能互推的。
二是重走老路。部分同志還在證明“大偶數都可以表爲兩個素數之和”。其實,“大偶數”不能替代“每個不小於6的偶數”,因此不可取。
三是條件設置不正確。大多數業餘愛好者不能正確理解命題的各要素條件,將“每個不小於6的偶數”、“奇合數”、“奇素數”等均設爲“n”或其他字母。這樣設置哥德巴赫猜想命題條件(因本命題較複雜,條件有限制,不能簡單設置。當然對其他較簡單的命題證明,是可以這樣設置的,如一個不定的數或集合等)是一種蒙到證題的方法,難以得出正確結果。、
四是奇合數和奇素數運算式未找到。有的同志可能找到了,但未能被認可,或者自已不堅定而否定了;有的同志用多個運算式來表示素數表示式,雖然表式是正確的,但因多而繁,難以用來證明哥德巴赫猜想命題。
五是篩法不到位。目前,大多數業餘愛好者的篩法,仍然是在全體自然數中進行的,既要篩出偶合數,又要篩出奇合數,難以達到全部篩出的目的(當然也有免篩的)。據統計,目前業餘愛好者的篩法達八種以上,其中有的是根據已有的數學方法總結出來的,但因證明繁鎖,如同餘篩等,由於反復無限地篩出,且出現多個餘數,並且當兩個自然奇數相加在一起時,還無法同時篩出,即便篩出了也無法確定命題是否成立,即“每不小於6的偶數”是否都可以達到表示爲“兩個素數之和”的情況,從而不能證明命題;有的是自創的,如“雙向篩”、“加強篩(實際上是“比例篩”)”、“格網篩”、“循環論”等,即使方法再好,也難以讓人相信。因爲不能用一個未被證明的方法(或定理)去證明一個需要證明的命題;有的篩法誤差較大,不太適用,如“比例篩”,它所建立的函數,實際上是麥比烏斯函數性質(3)的表現形式之一即數論積性函數。用這種函數來作篩法,需要轉換和補充,才能達到篩盡篩完的目的。又如,有的運用歐拉函數建立反歐拉函數,仍然存在上述問題。運用歐拉函數雖然可以求出小於且與n互素的數的個數,但仍不能篩盡篩完,否則歐拉早就證明了哥德巴赫猜想命題。
六是素數對計算錯誤。大多數同志在自然數集中研究素數對的存在情況,而忽視了素數對的對稱性存在而出現對素數對的計算錯誤,特別是一些用電腦編程計算出來的素數對的存在的情況,大多出現這種錯誤。正確的素數對的存在情況應是:除素數對中的兩個素數相等的一對素數對外,其餘的每對素數對都是對稱存在的雙素數對,但它們數位是相反的,且之和均相等。也就是說,每對素數對都是互補的,並且除相等的一對素數對外,每對素數對都是互素的。這只有通過建立方程和坐標系才能正確得出。
七是證明方法不恰當。從目前情況來看,大致有數學法、哲學法、預測學法(易經八挂)、電腦法等幾類。其中運用數學方法較多,哲學方法次之。在運用數學方法中,對於用抽屜原理(又稱鶴巢原理)證明命題是不恰當的,因爲它是多對少的確定法則,即n+1個元素對n個集合而言,在n 個集合中至少有一個集合中有兩個元素(或者說“若有n個鴿子巢,n+1個鴿子,則至少有一個巢內有至少有兩個鴿子。” );而對於少對多而言(如,在n以內,奇素數對奇合數,是少對多)不適用。對於用摩根定律、容斥原理、皮亞諾定理等證明命題,在確定集合中應用,可以找到答案。但是在不確定的集合中應用,難以找到正確答案,如奇素數對,由於奇合數個數、奇素數個數、奇合數重疊個數在集合中難以確定,因而難以用上述定理或定律求出正確答案。在運用哲學方法中,一些同志在用數學方法難以攻克命題的證明後,就“創新” 地探索,用哲學方法來證明,不但未成功,而且世人也難以接受。這是因爲,一些人在用哲學方法時,並沒有指出哲學方法和原理,或者只講出方法和原理,但並未將其貫穿始終,有牽強附會之感。同時,哲學研究的物件是整個世界(自然、人類社會、思維)普遍本質和一般規律,而不是證明,如果說是證明也只能說是“戲說”罷了。如“一分爲二”觀點,即事物都是一分爲二的,是對一個問題或一個事物從(正反)兩個方面去分析和看待,但不確定其內在性質(也無法確定),不要求如何具體地去“一分爲二”。我們在命題證明中,不可能隨便把素數和合數看成(正反)兩個方面,是需要正確地鑒定或確定它們的內在性質及其規律,並通過程式進行證明。即便用上“一分爲二”觀點,最後還得用上數學公式表示、計算和證明,因爲哲學並沒有指出“一分爲二”的具體公式和計算方法(當然,哲學不可能指出,也無法指出“一分爲二”的具體公式和計算方法)。又如“否定之否定”規律,是事物自我發展、自我完善的運動過程。有的同志用同余法(或其他篩法)排除了再排除合數的人爲作法比作是“否定之否定”法是不恰當的,因爲排除了再排除合數的作法,是對未排除完的合數再進行排除,而不是“否定之否定”的意思。同時也因爲哲學沒有指出“否定之否定”的具體公式和計算方法,而無法用於證明命題。當然,我們也並不是完全否定,不可以運用哲學方法來證明命題。這是因爲,在歷史上,也有運用哲學方法闡述命題的(或原理的)。例如,物理學家兼數學家牛頓于1687年出版的《自然哲學的數學原理》一書,就是運用哲學中的數學原理證明“萬有引力定律”(反平方定律)的(實際上是用數學方法證明的)。但就現行的哲學來看,運用現行哲學證明哥德巴赫猜想還不適用。因爲,在哲學中還找不到我們研究命題所需要的數學原理或數學公式。在易經八挂中,運用黑白兩點來表示兩個集合(一個爲奇合數集合,用黑點表示;一個爲奇素數集合,用白點表示),雖然可以推算,但不能用數學公式來表達,因此,也無法用來證明數學命題;在電腦方法中,主要是通過設定程式,並用電腦驗算來達到目的,但也是由於不能用數學公式來表達,因此,也無法用來證明數學命題。
八是命題證明內容不全。有的證明前提而不管結論,路未走完,未達到目的,就宣佈有結果了(或結論了);有的不管前提而蒙到證明結論,突然從天上掉下來,去證明結果(或結論)的成立;有的可能證明了中間的一部分,或某一個方面,就宣佈他的證明可能解決哥德巴赫猜想了。這雖然在一定程度上有可借鑒之處,但不能與完全證明一個命題混爲一談。一個完整的命題證明,應該從頭到尾均應是有序而嚴謹的,不應是斷斷續續的。
哥德巴赫猜想的研究未取得成功,除了上述分析的原因外,還有三大原因:
一是“猜想”表述含混,不易理解。哥德巴赫提出的“每個不小於6的偶數都是兩個素數之和”的猜想,由於其表述不確切,而無法證明。一方面,“每個不小於6的偶數”有多種情況存在,不只是兩個素數之和。一般認爲,按語言習慣,最爲確切的表述應是:每個不小於6的偶數都可以表示爲兩個奇素數之和。因爲,在所有素數中,除偶素數“2”以外,其餘的素數均爲奇素數。而我們解題要利用的素數全是奇素數。另一方面,兩個奇素數之和均爲不小於3的素數之和,否則命題不成立。同時在日常表述中,一般人又將兩個素數相加,習慣用“1+1”表述,也就是說,無論多大的素數,都把它看成一個,這樣兩個相加就是兩個“1”相加即“1+1”,而一些人把這堛滿1+1”誤認爲“1+1=2”的意思,使“猜想”改變了原來的題意。
二是數學家們把哥德巴赫猜想稱之爲“數學皇冠上的明珠”,誇大了其詞,誤導了探索者。事實上,就其本質來說,哥德巴赫猜想是一個素數加法問題,即研究素數兩兩相加的分佈規律問題,與素數的乘法、除法、指數、對數以及其他數學方法或者研究素數內在本質的運算方法相比,相差遠多了。可以說,素數加法問題是素數運算中最基礎、最低層次的一級運算。如果最低一級的素數運算方法就稱之爲“數學皇冠上的明珠”,那麽,其他高層次的素數運算方法或研究方法又稱爲什麽呢?
三是有關部門和權威人士的不支援態度甚至打壓,制約了研究人員的思路和激情。由於我國沒有專門研究哥德巴赫猜想的組織或機構,一些民間業餘數學愛好者只好將研究論文象雪片似地飛向相關刊物或數學人士,在一定程度上影響了正常工作的開展。同時,一些相關部門或業內專家學者包括權威人士認爲,哥德巴赫猜想問題應該用解析數論來解決,才可能符合解題要求(其實,這種認爲並行科學,因爲,解題的方法有多種,無論哪種解題方法,只要解題的方法科學簡便、程式清晰、邏輯清楚,並具有創新技巧,就可以判定其解題結果的正確與否。)。結果造成國內相關部門公開干預民間業餘數學愛好者研究哥德巴赫猜想,一些相關刊物或相關人士也拒絕受理或不敢受理涉及哥德巴赫猜想研究成果的刊發或評審。因此,民間業餘數學愛好者研究哥德巴赫猜想即使是成功的,也難以得到認可。但權威部門的打壓或權威人士的不支援態度,並未唬住民間業餘數學愛好者的研究激情,反而還更激發了他們的研究決心和信心,自辦刊物、自建網站或網頁專門探索研究哥德巴赫猜想,從而使哥德巴赫猜想熱潮持續高漲,經久不衰。
     二、對哥德巴赫猜想研究的思考
(一)正確理解哥德巴赫猜想命題的題意
哥德巴赫猜想命題是一個關於素數加法問題的命題。素數加法是素數運算中最基礎的運算。從命題本身來看,命題是由兩部分組成的,即前提條件“每個不小於6的偶數”和結論“兩個素數之和”。對於前提條件“每個不小於6的偶數”,“每個不小於6的偶數”可能存在的情況有:“偶+偶”、“奇+奇”、“奇+素”、“素+素”等情況;對於結論“兩個素數之和”,在任何情況下,“素+素”均爲“偶數”。因此,要使兩者相等,則前者需要排除“偶+偶”、“奇+奇”、“奇+素”。但是在排除“偶+偶”、“奇+奇”、“奇+素”後,命題兩端是否符合條件地連續相等,也就說,中間無任何斷檔,在給定的條件內均成立,即“每個不小於6的偶數”均能達到可以表爲“兩個素數之和”。這就是我們需要研究和解決的關鍵所在,也是我們理解題意的核心。
(二)充分認識破解哥德巴赫猜想的意義
哥德巴赫猜想,是一道世界性的數學難題之一,其意義十分重大。一般有四:一是破解哥德巴赫猜想具有國家意義。破解哥德巴赫猜想,表明該國在該項領域的研究水平,走在了世界的前列,這顯示了該國人民的智慧,爭得了國家榮譽。哥德巴赫猜想從提出到去今260多年無人破解,而今若破解了,能爲國家爭得了榮譽,因此具有國家意義。二是破解哥德巴赫猜想具有國際意義。破解“猜想”,全世界都能受益,其哥德巴赫猜想結論形成的(奇)素數加法性質(或定理)之一,全世界都可運用。因此,具有國際意義。三是破解哥德巴赫猜想具有歷史意義。破解哥德巴赫猜想,解決了歷史遺留難題之一,因而具有歷史意義。四是破解哥德巴赫猜想具有現實的指導和推進意義。哥德巴赫猜想結論形成的定理,對於研究(奇)素數的其他性質、規律及其運用提供了理論基礎,同時對保密、數碼、集合、群論等方面的研究具有現實的指導和推進意義。
(三)科學研究哥德巴赫猜想應堅持的原則
1、堅持文明研究的原則。搞研究,要虔誠作人,踏實做事。在研究過程中,要有文明的學風和作風。研究問題要自立,不要抄襲剽竊,或弄虛作假;請求問題要真誠,不要故弄玄虛,或愚弄答者,;回答請求要謙虛,不要自高自大,或唯我獨尊;討論問題要誠懇,不要嘲笑諷刺,或相互攻擊;遇到問題要冷靜,不要急躁冒進,或東撞西碰;取得成就要低調,不要自吹自擂,或炫耀不止;遭遇失敗要自省,不要責備辱駡,或怨聲載道。總之要以文明的姿態和高尚的情操來開展研究工作,即使成效不大,也會受到人們的尊重的。
2、堅持科學嚴謹的原則。做學問、做研究、搞證明,一要講程式,即證明命題,要嚴格按照證明的程式要求進行證明命題;二要講邏輯,即表達敍述,語言要清晰,用語要準確,層次要分明,邏輯要清楚;三要講方法,即證明方法,要恰當適用,對理對路,原理定律運用不要張冠李戴,或隨意引用;四要講技巧,即要多學習,多領會,多分析,多驗證,集思廣益,用巧妙的方法證明命題,使之少走彎路;五要講佈局,寫調研文章要注意結構的整體佈局,不要顧頭不顧尾,或走中間而不顧兩頭,或走兩頭而不顧中間,或斷章取義而不顧整體,或表堣ㄓ@而內外不合,或偷梁換柱而文不對題。總之有了科學嚴謹的態度,即使文章水平不高,但也應是一篇好作品。
3、堅持創新發展的原則。調研的目的就是創新,調研結果的運用就是促進發展。一要創新思路,要在總結前人思路的基礎上,創新思考問題,提煉新思維,建立新理念,步入新境界,並站在巨人的肩上騰飛。二要創新方法,在已有的研究成果基礎上,創新成果運用,創新證明方法。同時,運用現代數學科學技術研究解決問題,減少誤差,提升質量,從而確保命題證明科學準確。三要創新途徑。不要老是在一種方法上打轉轉,但主要應在數學方面考慮。
(四)正確解決哥德巴赫猜想的途徑
1、建立科學的“篩法”是解決解決哥德巴赫猜想的前提。目前,由於“篩法”問題一直未得到科學解決,而始終困擾著哥德巴赫猜想命題的成功證明。因此,筆者認爲,建立科學的“篩法”,應以建立“方程篩法”較爲科學。因爲“方程篩法”可以把未知的解一個不漏地正確表示出來,其他“篩法”則無與倫比。
2、建立科學的素數運算式是解決哥德巴赫猜想的唯一基礎。沒有素數運算式,要想證明哥德巴赫猜想,就等於建立沒有基礎的空中樓角,不推自垮。過去數學家研究哥德巴赫猜想沒有取得成功,原因之一就是沒有建立起科學的素數運算式,否則,哥德巴赫猜想早就解決了。筆者認爲,目前最簡單的素數運算式,前人可能已經建立起來了(當然,需要重新表述。),只是人們沒有很好地利用它而已。筆者認爲,可以用數列的形式表示較爲妥當,因爲一般數列都能用通項式表示出來。
3、找到素數分佈規律是解決哥德巴赫猜想的關鍵。由於奇合數分佈是有規律的,並且前人已找到奇合數表示式。因此奇素數分佈也應該是有規律的。筆者認爲,可以用方程法找到素數的分佈規律。
4、建立嚴密的“方程”是求取素數對解的唯一方法。通過解方程,可以求到所有整數解的存在情況。筆者認爲,求素數對的解,只要通過方程求到素數對解的存在情況即可,用不著去求證素數對存在多少的情況,就可以證明哥德巴赫猜想命題的成立了。





       二OO四年十月九日

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~領悟~ 於 星期一 一月 01, 2007 2:24 pm


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