[數學]完全平方數

[數學]完全平方數

J+W 於 星期日 十月 31, 2004 5:31 pm


關於完全平方數
(一)完全平方數的性質

  一個數如果是另一個整數的完全平方,那麽我們就稱這個數爲完全平方數,也叫做平方數。例如:

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

  觀察這些完全平方數,可以獲得對它們的個位數、十位元數、數位和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質:

  性質1:完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。

  性質2:奇數的平方的個位數位爲奇數,十位元數位爲偶數。

  性質3:如果完全平方數的十位元數位是奇數,則它的個位數位一定是6;反之,如果完全平方數的個位數位是6,則它的十位元數位一定是奇數。

      推論1:如果一個數的十位元數位是奇數,而個位數位不是6,那麽這個數一定不是完全平方數。

  推論2:如果一個完全平方數的個位數位不是6,則它的十位元數位是偶數。

      性質4:偶數的平方是4的倍數;奇數的平方是4的倍數加1。

      性質5:奇數的平方是8n+1型;偶數的平方爲8n或8n+4型。

      性質6:平方數的形式必爲下列兩種之一:3k,3k+1。

      性質7:不能被5整除的數的平方爲5k±1型,能被5整除的數的平方爲5k型。

      性質8:平方數的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

      除了上面關於個位數,十位數和餘數的性質之外,還可研究完全平方數各位數位之和。例如,256它的各位數位相加爲2+5+6=13,13叫做256的各位數位和。如果再把13的各位數位相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位數位的和。下面我們提到的一個數的各位數位之和是指把它的各位數位相加,如果得到的數位之和不是一位元數,就把所得的數位再相加,直到成爲一位數爲止。我們可以得到下面的命題:

      一個數的數位和等於這個數被9除的餘數。

      關於完全平方數的數位和有下面的性質:

  性質9:完全平方數的數位之和只能是0,1,4,7,9。

      除了以上幾條性質以外,還有下列重要性質:

  性質10: a^2b爲完全平方數的充要條件是b爲完全平方數。

  性質11:如果質數p能整除a,但p^2不能整除a,則a不是完全平方數。

  性質12:在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數,即若

n^2<k<(n+1)^2, 則k一定不是完全平方數。

      性質13:一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。

(二)重要結論

1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數; 

2.個位數和十位元數都是奇數的整數一定不是完全平方數;

3.個位數是6,十位元數是偶數的整數一定不是完全平方數;

4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數;

5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數;

6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數;

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數;

8.數位和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。

(三)範例

  [例1]:一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數,求此數。

  解:設此自然數爲x,依題意可得
x-45=m^2................(1)
x+44=n^2................(2)(m,n爲自然數)

(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

但89爲質數,它的正因數只能是1與89,於是。解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。

  [例2]:求證:四個連續的整數的積加上1,等於一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。

  分析 設四個連續的整數爲n,(n+1),(n+2),(n+3),其中n爲整數。欲證

n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數的平方,只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。

  證明 設這四個整數之積加上1爲m,則

m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

而n(n+1)是兩個連續整數的積,所以是偶數;又因爲2n+1是奇數,因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。

  [例3]:求證:11,111,1111,......,111...1(n個1)這串數中沒有完全平方數(1972年基輔數學競賽題)。

  分析 形如111...1(n個1)的數若是完全平方數,必是末位爲1或9的數的平方,即

111...1(n個1)=(10a+1)^2 或 111...1(n個1)=(10a+9)^2

在兩端同時減去1之後即可推出矛盾。

  證明 若111...1(n個1)=(10a+1)^2=100a^2+20a+1,則

111...10=100a^2+20a, 111...1(n-1個1)=10a^2+2a

因爲左端爲奇數,右端爲偶數,所以左右兩端不相等。

若111...1(n個1)=(10a+9)^2,同理。

綜上所述,不可能是完全平方數。

  另證 由爲奇數知,若它爲完全平方數,則只能是奇數的平方。但已證過,奇數的平方其十位元數位必是偶數,而十位元上的數位爲1,所以不是完全平方數。

  [例4]:試證數列49,4489,444889,......444...4888...89(n個4,n-1個8) 的每一項都是完全平方數。

  證明(略) 

      [例5]:用300個2和若干個0組成的整數有沒有可能是完全平方數?

解:設由300個2和若干個0組成的數爲A,則其數位和爲600

3︱600 ∴3︱A

此數有3的因數,故9︱A。但9︱600,∴矛盾。故不可能有完全平方數。

      [例6]:試求一個四位數,它是一個完全平方數,並且它的前兩位元數位相同,後兩位元數位也相同(1999小學數學世界邀請賽試題)。

解:設此數爲aabb,則:aabb=a0b*11

此數爲完全平方,則必須是11的倍數。因此11︱a + b,而a,b爲0,1,2,9,故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。

直接驗算,可知此數爲7744=88。

[例7]:求滿足下列條件的所有自然數:

(1)它是四位數。

(2)被22除餘數爲5。

(3)它是完全平方數。

解:設22n+5=N^2,其中n,N爲自然數,可知N爲奇數。

N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1)

11︱N - 4或11︱N + 4

N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......)

經試數可知,此自然數爲1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

  [例8]:甲、乙兩人合養了n頭羊,而每頭羊的賣價又恰爲n元,全部賣完後,兩人分錢方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此輪流,拿到最後,剩下不足十元,輪到乙拿去。爲了平均分配,甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數學邀請賽試題)?

  解:n頭羊的總價爲n^2元,由題意知n^2元中含有奇數個10元,即完全平方數n^2的十位元數位是奇數。如果完全平方數的十位元數位是奇數,則它的個位數位一定是6。所以,n^2的末位元數位爲6,即乙最後拿的是6元,從而爲平均分配,甲應補給乙2元。

  [例9]:矩形四邊的長度都是小於10的整數(單位:公分),這四個長度數可構成一個四位數,這個四位元數的千位元數位與百位元數位相同,並且這四位數是一個完全平方數,求這個矩形的面積(1986年縉雲杯初二數學競賽題)。

  解:設矩形的邊長爲x,y,則四位數
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)

∵N是完全平方數,11爲質數 ∴x+y能被11整除。

又由分析可得x+y=11。

∴N=11^2*(9x+1)∴9x+1是一個完全平方數,驗算知x=7滿足條件。

又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm^2.

  
(四)討論題

1.(1986年第27屆IMO試題)

設正整數d不等於2,5,13,求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a , b,使得ab -1不是完全平方數。

2.求k的最大值,使得3^7可以表示爲k個連續正整數之和

J+W
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33 於 星期二 四月 05, 2005 4:44 pm


好實用喔....................

33
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大同世界 於 星期五 十二月 22, 2006 11:43 pm


目前我正在找有關『kaprekar number』
印下來好好看看!
好像有些性質可用!

大同世界
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