第十講 構造與論證
基礎班
1.證明:從1,3,5,……,99中任意選取26個數,必有其中兩個數的和是100。
證明:把這些數分組,(1,99),(3,97),(5,95),……,(49,51)。原來一共有50個數,所以現在被分成了50÷2=25組,一共取出了26個數,26>25,根據抽屜原理可知,至少有一個組取了2個數,因爲一個組就是2個數,和都是100,所以取出的26個數中必有兩個數的和爲100。
2. 證明:在任意的三個自然數中,至少有兩個數的和或差是3的倍數。
證明:自然數除以3的余數可能是1、2、0;若這三個數中有兩個數除以3的余數相同,那麽這兩個數的差必是3的倍數;若這三個數除以3的余數都不相同,那麽除以3余1和余2的這兩個數的和必定是3的倍數。
3. 從1,2,3,……,99,100中任意取55個不同的自然數。在這55個數中是否一定能找到兩個數來,使它們的差等於9?
證明:可以。我們考慮如下的91個數對:(1,10)、(2,11)、(3,12)、……、(90,99)、(91,100)。這些數對中有91×2=182個數(重複計數),其中1~9,92~100這18個數各出現一次,10~91這82個數個出現兩次,於是在這182個數中至少有(55-18)×2+18=92個數是我們選取的55個數中的數,由於92>91,根據抽屜原理,其中必有一對數都是已選取的數,而它們的差恰是9。
4.求證:對於任意的8個自然數,一定能從中找到6個數a,b,c,d,e,f,使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍數。
證明:105=3×5×7。對於任意的8個自然數,必可選出2個數,使它們的差是7的倍數;在剩下的6個數中,又可選出2個數,使它們的差是5的倍數;在剩下的4個數中,又可選出2個數,使它們的差是3的倍數,則可滿足題意。
提高班
1.證明:從1,3,5,……,99中任意選取26個數,必有其中兩個數的和是100。
證明:把這些數分組,(1,99),(3,97),(5,95),……,(49,51)。原來一共有50個數,所以現在被分成了50÷2=25組,一共取出了26個數,26>25,根據抽屜原理可知,至少有一個組取了2個數,因爲一個組就是2個數,和都是100,所以取出的26個數中必有兩個數的和爲100。
2. 證明:在任意的三個自然數中,至少有兩個數的和或差是3的倍數。
證明:自然數除以3的余數可能是1、2、0;若這三個數中有兩個數除以3的余數相同,那麽這兩個數的差必是3的倍數;若這三個數除以3的余數都不相同,那麽除以3